Question

【題目】如圖，已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，且與y軸相交于點(diǎn)C，直線l是拋物線的對(duì)稱軸．

（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)C的距離之和最短時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)M也是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，且△MAC為直角三角形，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，

∴ ，

∴ ，

∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3

（2）解：如圖1，

∵點(diǎn)A，B關(guān)于直線l對(duì)稱，

∴連接BC交直線l于點(diǎn)P，

由（1）知，拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3，

∴直線l：x=1，C（0，﹣3），

∵B（3，0），

∴直線BC的解析式為y=x﹣3，

當(dāng)x=1時(shí)，y=﹣2，

∴P（1，﹣2）

（3）解：設(shè)點(diǎn)M（1，m），

∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），

∴AC2=10，AM2=m2+4，CM2=（m+3）2+1=m2+6m+10，

∵△MAC為直角三角形，

∴當(dāng)∠ACM=90°時(shí)，∴AC2+CM2=AM2，

∴10+m2+6m+10=m2+4，

∴m=﹣ ，

∴M（1，﹣ ）

當(dāng)∠CAM=90°時(shí)，∴AC2+AM2=CM2，

∴10+m2+4=m2+6m+10，

∴m= ，

∴M（1， ）

當(dāng)∠AMC=90°時(shí)，AM2+CM2=AC2，

∴m2+4+m2+6m+10=10，

∴m=﹣1或m=﹣2，

∴M（1，﹣1）或（1，﹣2），

即：滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，﹣ ）或（1， ）或（1，﹣1）或（1，﹣2）

【解析】（1）方法一、將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式即可求。方法二、A、B兩點(diǎn)是拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，a=1可設(shè)拋物線解析式為y=（x+1）（x-3）.
（2）由題意可知點(diǎn)A，B關(guān)于直線l對(duì)稱，連接BC交直線l于點(diǎn)P，求出直線BC的函數(shù)解析式，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。
（3）由于點(diǎn)M也是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，△MAC為直角三角形，因此設(shè)點(diǎn)M（1，m），根據(jù)A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)，分別求出AC2、AM2、CM2。再分三種情況：當(dāng)∠ACM=90°時(shí)，∴AC2+CM2=AM2，當(dāng)∠CAM=90°時(shí)，∴AC2+AM2=CM2，當(dāng)∠AMC=90°時(shí)，AM2+CM2=AC2，分別建立方程，求出m的值，即可求得點(diǎn)m的坐標(biāo)。
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了確定一次函數(shù)的表達(dá)式和軸對(duì)稱-最短路線問題的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法；已知起點(diǎn)結(jié)點(diǎn)，求最短路徑；與確定起點(diǎn)相反，已知終點(diǎn)結(jié)點(diǎn)，求最短路徑；已知起點(diǎn)和終點(diǎn)，求兩結(jié)點(diǎn)之間的最短路徑；求圖中所有最短路徑才能正確解答此題．