Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AD= AB，∠BAD的平分線交BC于點E，DH⊥AE于點H，連接BH并延長交CD于點F，連接DE交BF于點O，下列結論：
①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC﹣CF=2HE；⑤AB=HF，
其中正確的有（ ）

A.2個
B.3個
C.4個
D.5個

Answer 1

【答案】C
【解析】∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠DAE=45°，

∴△ABE是等腰直角三角形，

∴AE= AB，

∵AD= AB，

∴AE=AD，

在△ABE和△AHD中，

，

∴△ABE≌△AHD（AAS），

∴BE=DH，

∴AB=BE=AH=HD，

∴∠ADE=∠AED= （180°﹣45°）=67.5°，

∴∠CED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，

∴∠AED=∠CED，故①正確；

∵AB=AH，

∵∠AHB= （180°﹣45°）=67.5°，∠OHE=∠AHB（對頂角相等），

∴∠OHE=67.5°=∠AED，

∴OE=OH，

∵∠DHO=90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°﹣45°=22.5°，

∴∠DHO=∠ODH，

∴OH=OD，

∴OE=OD=OH，故②正確；

∵∠EBH=90°﹣67.5°=22.5°，

∴∠EBH=∠OHD，

在△BEH和△HDF中，

，

∴△BEH≌△HDF（ASA），

∴BH=HF，HE=DF，故③正確；

∵HE=AE﹣AH=BC﹣CD，

∴BC﹣CF=BC﹣（CD﹣DF）=BC﹣（CD﹣HE）=（BC﹣CD）+HE=HE+HE=2HE．故④正確；

∵AB=AH，∠BAE=45°，

∴△ABH不是等邊三角形，

∴AB≠BH，

∴即AB≠HF，故⑤錯誤；

綜上所述，結論正確的是①②③④共4個．

所以答案是：C．

【考點精析】根據題目的已知條件，利用角平分線的性質定理和矩形的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上；矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等．