Question

【題目】如圖，AB是⊙O的弦，D為OA半徑的中點，過D作CD⊥OA交弦AB于點E，交⊙O于點F，且CE=CB．

（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）連接AF、BF，求∠ABF的度數；
（3）如果BE=10，sinA= ，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OB

∵OB=OA，CE=CB，

∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC

又∵CD⊥OA

∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°

∴∠OBA+∠ABC=90°

∴OB⊥BC

∴BC是⊙O的切線

（2）解：連接OF，AF，BF，

∵DA=DO，CD⊥OA，

∴AF=OF，

∵OA=OF，

∴△OAF是等邊三角形，

∴∠AOF=60°

∴∠ABF= ∠AOF=30°

（3）連接OF，AF，

∵DA=DO，CD⊥OA，

∴AF=OF=OA，

過點O作OG⊥AB于點G，得到AG=BG，

在Rt△AOG中，sinA= = ，

設DE=5x，則AE=13x，AD=12x，AO=24x，

∵BE=10，∴AB=10+13x．

則AG= AB=5+ x，

又∵直角△AOG中，sin∠BAO= ，則 = ，

則 =

解得x= ，

∴AO=24x=

【解析】（1）證切線須連半徑，再證垂直；（2）利用AD是半徑的一半，得出△OAF是等邊三角形，再由圓周角定理得出∠ABF= ∠AOF=30°；（3）設出未知數DE=5x,△AOG中,利用sin∠BAO的正弦定義列出方程，求出x.

【考點精析】關于本題考查的勾股定理的概念和切線的判定定理，需要了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線才能得出正確答案．