Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=3．D是BC邊上一點，直線DE⊥BC于D，交AB于E，CF∥AB交直線DE于F．設CD=x．
（1）當x=1時，求四邊形EACF的面積；
（2）當x為何值時，四邊形EACF是菱形？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先判定四邊形EACF是?，所以?EACF的面積=2×1=2；
（2）再根據△ABC∽△CFD中的AB：CF=BC：CD，得到：2=3：CD，解得CD=時，?EACF是菱形．
解答：解：（1）∵DE⊥BC，∠ACB=90°
∴EF∥AC
∵CF∥AB
∴?EACF的面積=2×1=2

（2）由（1）可知四邊形EACF是平行四邊形，
則∠A=∠CFD，EF∥AC，
故∠ACB=∠FDC，
故△ABC∽△FCD，
即AB：CF=BC：CD
又∵AB==（勾股定理），BC=3
所以當CF=AC=2時，EACF是菱形．
∴：2=3：CD
所以x=CD=時，?EACF是菱形．
點評：本題考查的是平行四邊形的性質和菱形的判定及性質．要掌握其性質才會靈活運用．要會根據相似三角形中的比例線段列方程求解．