Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上的一點，CD交AB的延長線于D，∠DCB=∠CAB．
（1）求證：CD為⊙O的切線．
（2）若CD=4，BD=2，求⊙O的半徑長．

Answer 1

（1）證明：∵∠DCB=∠CAB，∠CAB=∠ACO，
∴∠DCB=∠ACO，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
即∠ACO+∠OCB=90°
∴∠DCB+∠OCB=90°，
∴∠OCD=90°
∴CD為⊙O的切線；

（2）解：設⊙O的半徑為R，則OD=R+2，
∵CD=4，BD=2，∠OCD=90°，
由勾股定理得R²+4²=（R+2）²，
解得：R=3，
∴⊙O的半徑長為3．
分析：（1）要證CD為⊙O的切線，只要證明OC⊥CD即可，由AB是⊙O的直徑可得∠ACB=90°，只要∠DCB=∠ACO，由半徑及已知∠DCB=∠CAB可得答案；
（2）可設出半徑，用半徑表示出OD，在直角三角形OCD中，利用勾股定理可求得半徑的值．
點評：本題考查了切線的判斷及性質及勾股定理的知識；證明過半徑的外端點且垂直于這條半徑的直線是圓的切線是常用的方法，求圓的半徑常常用勾股定理，這些方法十分重要，要熟練掌握．