Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，過點B的弦BD⊥OC交⊙O于點D，垂足為E．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）當BC=BD，且BD=12cm時，求圖中陰影部分的面積（結果不取近似值）．

Answer 1

分析：（1）連接OD，然后證明△OBC≌△ODC可得∠OBC=∠ODC，再根據AB為⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，可得∠OBC=∠ODC=90°，進而得到CD是⊙O的切線；
（2）首先證明△BCD為等邊三角形，可得∠BCD=60°，進而算出∠BOD的度數，計算出∠OBD和BE、OE、OB的長，再根據S_陰影部分=S_扇形OBD-S_△OBD即可算出答案．

解答：（1）證明：連接OD，
∵OC⊥BD，
∴DE=BE，
∵OB=OD，
∴∠BOC=∠DOC，
∵OC=OC，
在△OBC和△ODC中

OC=OC ∠BOC=∠DOC DO=BO

，
∴△OBC≌△ODC（SAS），
∴∠OBC=∠ODC．
又∵AB為⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，
∴∠OBC=∠ODC=90°，
∴CD是⊙O的切線；

（2）∵△OBC≌△ODC，
∴BC=DC．
又DB=BC=12，
∴△BCD為等邊三角形．
∴∠BOD=360°-90°-90°-60°=120°，∠OBE=90°-60°=30°，BE=6．
∴OE=BE•tan30°=2

3

，OB=2OE=4

3

，
∴S_陰影部分=S_扇形OBD-S_△OBD=

120•π•(4 3 )2

360

-

1

2

×12×2

3

=16л-12

3

（cm²）．

點評：此題主要考查了切線的判定，全等三角形的判定與性質，以及扇形的面積計算，關鍵是掌握切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．