Question

（2013•平南縣二模）如圖，在扇形EAB中，半徑長AB=10，∠EAB=90°；以AB為直徑作半圓O，點D是弧BE上的一個動點，BD與半圓O交于點C，DG⊥AB于點G，DG與AC交于點F，連結OF．
（1）求證：DC=BC；
（2）設AG=x，FG²=y，試求y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；
（3）若點G落在線段OB上，當△FOG∽△ABC時，求線段AG的長度．

Answer 1

分析：（1）如圖，連接AD，構建等腰△ABD，理由等腰三角形的“三線合一”的性質證得結論；
（2）在直角△ADG中，由勾股定理得到：DG²=AD²-AG²=100-x²，則易求DG=

100-x2

；然后通過相似三角形Rt△AFG∽Rt△DBG的對應邊成比例知：

FG

AG

=

BG

DG

，即

FG

x

=

10-x

100-x2

，易求y=FG²=

x2(10-x)

10+x

，期中，x的取值范圍為：0≤x≤10；
（3）在點D運動過程中，若點G落在線段OB上，且△FOG∽△ABC時．結合Rt△AFG∽Rt△ABC，推知Rt△FOG∽Rt△AFG，則該相似三角形的對應邊成比例：
FG²=AG•OG=x（x-5），解得：x=

5±5 17

4

，經檢驗可知，AG=

5+5 17

4

．

解答：
（1）證明：如圖，連接AD．
∵點D、B在弧BE上，
∴AD=AB．
∵點C在半圓O上，AB為半圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，即AC⊥BD，
∴DC=BC；

（2）∵AD=AB=10，AG=x，
∴BG=10-x．
∵DG⊥AB于點G，
∴在直角△ADG中，DG²=AD²-AG²=100-x²，
∴DG=

100-x2

．
∵∠CAB+∠B=∠D+∠B=90°，
∴∠FAG=∠D，
∴Rt△AFG∽Rt△DBG，
∴

FG

AG

=

BG

DG

，
∴

FG

x

=

10-x

100-x2

，則FG=

x(10-x)

100-x2

，
∴y=FG²=

x2(10-x)

10+x

，期中，x的取值范圍為：0≤x≤10；

（3）在點D運動過程中，若點G落在線段OB上，且△FOG∽△ABC時．
∵Rt△AFG∽Rt△ABC，
∴Rt△FOG∽Rt△AFG，
∴FG²=AG•OG=x（x-5），
∴

x2(10-x)

10+x

=x（x-5），
解得：x=

5±5 17

4

，
經檢驗可知，AG=

5+5 17

4

．
綜上所述，當△FOG∽△ABC時，AG=

5+5 17

4

．

點評：本題綜合考查了圓周角定理，等腰三角形的性質，勾股定理以及相似三角形的判定與性質．難度較大，需要學生對所學知識有一個系統的，綜合性的掌握．