Question

【題目】直角三角形紙片 ABC 中，∠ACB＝90°，AC≤BC．如圖，將紙片沿某條直線折疊，使點 A 落在直角邊 BC 上，記落點為 D．設折痕與 AB、AC 邊分別交于點 E、點 F，當折疊后的△CDF 與△BDE 均為等腰三角形，那么紙片中∠B 的度數是_____

Answer 1

【答案】45或30.

【解析】

因為△CDF中,∠C=90,且△CDF是等腰三角形,所CF=CD.所以∠CFD=∠CDF=45.設∠DAE=x,由對稱性可知,AF=FD,AE=DE,所以∠FDA=∠CFD=22.5,∠DEB=2 x.

分DE=DB；BD=BE；DE=BE三種情況討論可得∠B的度數.

解：因為△CDF中,∠C=90,且△CDF是等腰三角形,所CF=CD.所以∠CFD=∠CDF=45.設∠DAE=x,由對稱性可知,AF=FD,AE=DE,所以∠FDA=∠CFD=22.5,∠DEB=2 x.分類如下:

當DE=DB時，∠B=∠DEB=2 x.由∠CDE=∠DEB+∠B得45+22.5+x=4x.解得：x=22.5,此時∠B =45.圖形見圖(1).

當BD=BE時.則∠B=180-4x.由∠CDE=∠DEB+∠B得45+22.5+x=2x+180-4x.

解得：x=37.5.此時∠B=180-437.5=30,圖形見圖(2).

當DE=BE時,則∠B=()，由∠CDE=∠DEB+∠B得45+22.5+x=2x+,此方程無解,所以DE=BE不成立

綜上所述: ∠B=45或∠B=30.