Question

【題目】如圖1，已知拋物線與y軸交于點A（0，﹣4），與x軸相交于B（﹣2，0）、C（4，0）兩點，O為坐標原點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）設點E在x軸上，∠OEA+∠OAB=∠ACB，求BE的長；

（3）如圖2，將拋物線y=ax2+bx+c向右平移n（n＞0）個單位得到的新拋物線與x軸交于M、N（M在N左側），P為x軸下方的新拋物線上任意一點，連PM、PN，過P作PQ⊥MN于Q，是否為定值？請說明理由．

圖1 圖2

Answer 1

【答案】（1）y=x2-x-4；（2）14或10；（3）是定值，理由見解析.

【解析】（1）由題意設拋物線解析式為y=a（x+2）（x-4），把（0，-4）代入求出a即可．

（2）由tan∠ACB==1，tan∠OAB==，可得tan∠OEA=，即=，從而根據正切函數的定義求出OE的值，進而可求BE的值；

（3）設平移后的解析式為y=(x+2-n)(x-4-n) ，點P的坐標為P(t,(t+2-n)(t-4-n))，

表示出PQ、 MQ、NQ后，代入+化簡即可.

設（1）y=a(x+2)(x-4)，將（0，-4）代入，得

-8a=-4a,

∴a=，

∴y=(x+2)(x-4)，即y=x2-x-4；

(2). Rt△AOC中，tan∠ACB==1；

Rt△AOC中，tan∠OAB==，

∵∠OEA=∠ACB-∠OAB，

∴tan∠OEA==，即=，

∵OA=4，

∴OE=12，

∴BE=12+2=14或BE=12-2=10，

答：BE的長為14或10；

（3）平移后：y=(x+2-n)(x-4-n) ，

∴ M(-2+n,0)， N(4+n,0)，

設P(t,(t+2-n)(t-4-n))，

則PQ=-(t+2-n)(t-4-n)，

MQ=t-(-2-n)=t+2-n， NQ=4+n-t，

∴+=+=- (t-4-n)+(t+2-n)=3為定值.