Question

（1998•山西）設直線y=2x+2分別交x軸、y軸于點A、M，若拋物線經過點A，交x軸于另一點B，交y軸于點C，且頂點P在已知直線上，P點的橫坐標為m（m≠-1），
（1）求拋物線的解析式（系數和常數項可用含m代數式來表示）．
（2）由點P作PN⊥x軸于點N，連接PB，當S_△PNB：S_△MAO=4：1時（其中S_△PNB表示△PNB的面積），求m的值．
（3）當S_△PNB：S_△MAO=4：1時，求直線AC的解析式．

Answer 1

分析：（1）設拋物線的解析式為y=a（x-h）²+k，把P和A點的坐標分別代入求出a，h，k的值即可；
（2）由（1）可知A的坐標是（-1，0），OA=1，通過二次函數的解析式求出B點的坐標進而得到OB的長，所以可用含m的代數式表示出△PNB的面積，利用條件S_△PNB：S_△MAO=4：1，即可求出m的值；
（3）由（2）可知m=1，所以y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3，所以可求出C的坐標，設直線AC的解析式為y=kx+b，把A，C點的坐標代入得求出k和b的值即可．

解答：解：（1）設拋物線的解析式為y=a（x-h）²+k，
∵頂點P在已知直線上，P點的橫坐標為m，直線y=2x+2，
∴P的縱坐標為y=2m+2，
∴h=m，k=2m+2，
∴y=a（x-m）²+2m+2，
對于直線y=2x+2，設y=0，則2x+2=0，
∴x=-1，
∴A（-1，0），
把A點的坐標代入y=a（x-m）²+2m+2得：
0=a（-1-m）²+2m+2，
解得：a=-

2

m+1

，
∴y=-

2

m+1

（x-m）²+2m+2；

（2）由（1）可知A的坐標是（-1，0），
∴OA=1，
設x=0，則直線中y=2，
∴M的坐標為（0，2），
∴OM=2，
∴S_△MAO=

1

2

AO•OM=1，
∵S_△PNB：S_△MAO=4：1
∴S_△PNB=4，
設y=-

2

m+1

（x-m）²+2m+2=0，
解得：x=-1或2m+1，
∴B的坐標為（2m+1），
∴OB=2m+1，
∵PM=2m+2，BN=OB-0N=OB-m=m+1，
∴

1

2

•PN•BN=4，
∴

1

2

•（2m+2）•（m+1）=4，
解得：m=1或-3（舍去）；

（3）由（2）可知m=1，所以y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3，
∴C點的坐標為（0，3）
設直線AC的解析式為y=kx+b，把A，C點的坐標代入得：

0=-k+b 3=b

，
解得：

k=-3 b=3

，
∴y=-3x+3．

點評：本題考查了用待定系數法求二次函數以及一次函數的解析式、二次函數和一次函數和坐標軸的交點問題以及三角形的面積求法和一元二次方程的應用，題目的綜合性強，難度中等．