Question

（1998•山西）設a，b，c是△ABC三邊的長，且關于x的方程c（x²+n）+b（x²-n）-2

n

ax=0（n＞0）有兩個實數根，求證：△ABC是直角三角形．

Answer 1

分析：先把關于x的方程整理成一元二次方程的一般形式，再根據方程由兩個相等的實數根即可得出a、b、c的關系，進而得出結論．

解答：證明：關于x的方程c（x²+n）+b（x²-n）-2

n

ax=0（n＞0）可化為（c+b）x²-2a

n

x+（c-b）n=0，
∵方程有兩個相等的實數根，
∴△=（-2a

n

）²-4n（c+b）（c-b）=0，即a²=b²+c²，
∵a，b，c是△ABC三邊的長，
∴△ABC是直角三角形．

點評：本題考查的是根的判別式及勾股定理的逆定理，熟知一元二次方程的根與判別式之間的關系是解答此題的關鍵．