Question

【題目】如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，以AC為直徑作⊙O交BC于點D，過點D作DE⊥AB，垂足為E．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若DE= ，∠C=30°，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）π

【解析】

（1）連接OD，根據等邊對等角得出∠ODC=∠C=∠B，進一步得出OD∥AB，再根據DE⊥AB即可得出答案；

（2）連接AD，根據AC是直徑，得到∠ADC＝90°，利用AB＝AC得到BD＝CD，解直角三角形求得BD，在Rt△ABD中，解直角三角形求得AD，根據題意證得△AOD是等邊三角形，即可OD＝AD，然后利用弧長公式求得即可．

（1）證明：連接OD．

∵OC=OD， AB=AC，

∴∠ODC=∠C=∠B

∴OD∥AB

∠ODE=∠DEB

∵DE⊥AB，

即DE⊥OD．

∴DE是⊙O的切線．

（2）解：連接AD，

∵AC為⊙O的直徑，

∴AD⊥BC．

∵AB=AC，

∴∠B=∠C=30°，BD=CD．

∴∠AOD=60°．

∵DE= ，

∴BD=CD=2 ，

∴OC=2．

∴ π