Question

如圖，已知點O為坐標原點，∠AOB=30°，∠B=90°，且點A的坐標為（2，0）．
（1）求點B的坐標；
（2）若二次函數y=ax²+bx+c的圖象經過A，B，O三點，求此二次函數的解析式；
（3）在（2）中的二次函數圖象的OB段（不包括O，B點）上，是否存在一點C，使得四邊形ABCO的面積最大？若存在，求出點C的坐標及四邊形ABCO的最大面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）在Rt△OAB中，由∠AOB=30°可以得到OB=，過點B作BD垂直于x軸，垂足為D，利用已知條件可以求出OD，BD，也就求出B的坐標；
（2）根據待定系數法把A，B，O三點坐標代入函數解析式中就可以求出解析式；
（3）設存在點C（x，-x²+x），使四邊形ABCO面積最大，而△OAB面積為定值，只要△OBC面積最大，四邊形ABCO面積就最大．過點C作x軸的垂線CE，垂足為E，交OB于點F，則S_△OBC=S_△OCF+S_△BCF=|CF|•|OE|+|CF|•|ED|=|CF|•|OD|=|CF|，而|CF|=y_C-y_F=-x²+x-x=-x²+x，這樣可以得到S_△OBC=-x²+x，利用二次函數就可以求出△OBC面積最大值，也可以求出C的坐標．
解答：解：（1）在Rt△OAB中，
∵∠AOB=30°，
∴OB=，
過點B作BD垂直于x軸，垂足為D，
則OD=cos30°=，BD=BO=，
∴點B的坐標為（，）；

（2）將A（2，0）、B（，）、O（0，0）三點的坐標代入y=ax²+bx+c，
得：，
解方程組，，
∴所求二次函數解析式是y=-x²+x；

（3）設存在點C（x，-x²+x）（其中0＜x＜），使四邊形ABCO面積最大，而△OAB面積為定值，
只要△OBC面積最大，四邊形ABCO面積就最大．
過點C作x軸的垂線CE，垂足為E，交OB于點F，
則S_△OBC=S_△OCF+S_△BCF=|CF|•|OE|+|CF|•|ED|=|CF|•|OD|=|CF|，
而|CF|=y_C-y_F=-x²+x-x=-x²+x，
∴S_△OBC=-x²+x，
∴當x=時，△OBC面積最大，最大面積為．
此時C點坐標為（，），
故四邊形ABCO的最大面積為：．
點評：本題考查的是二次函數綜合題，涉及到利用待定系數法求解二次函數的解析式，利用二次函數的性質求解函數的最大值等知識，根據題意畫出圖形，利用數形結合求解是解答此題的關鍵．