Question

【題目】平面上，矩形ABCD與直徑為QP的半圓K如圖1擺放，分別延長DA和QP交于點O，且∠DOQ=60°，OQ=0D=3，OP=2，OA=AB=1．讓線段OD及矩形ABCD位置固定，將線段OQ連帶著半圓K一起繞著點O按逆時針方向開始旋轉，設旋轉角為α（0°≤α≤60°）．
發現：

（1）當α=0°，即初始位置時，點P直線AB上．（填“在”或“不在”）求當α是多少時，OQ經過點B．
（2）在OQ旋轉過程中，簡要說明α是多少時，點P，A間的距離最小？并指出這個最小值；
（3）如圖2，當點P恰好落在BC邊上時，求a及S陰影
拓展：
如圖3，當線段OQ與CB邊交于點M，與BA邊交于點N時，設BM=x（x＞0），用含x的代數式表示BN的長，并求x的取值范圍．
探究：當半圓K與矩形ABCD的邊相切時，求sinα的值．

Answer 1

【答案】
（1）在
（2）解：如圖2，連接AP，

∵OA+AP≥OP，

當OP過點A，即α=60°時，等號成立，

∴AP≥OP﹣OA=2﹣1=1，

∴當α=60°時，P、A之間的距離最小，

∴PA的最小值=1

（3）解：如圖2，

設半圓K與PC交點為R，連接RK，過點P作PH⊥AD于點H，

過點R作RE⊥KQ于點E，在Rt△OPH中，PH=AB=1，OP=2，

∴∠POH=30°，

∴α=60°﹣30°=30°，

∵AD∥BC，

∴∠RPO=∠POH=30°，

∴∠RKQ=2×30°=60°，

∴S扇形KRQ= = ，

在Rt△RKE中，RE=RKsin60°= ，

∴S△PRK= RE= ，∴S陰影= + ；

拓展：如圖5，

∵∠OAN=∠MBN=90°，∠ANO=∠BNM，

∴△AON∽△BMN，

∴ ，即 ，

∴BN= ，

如圖4，

當點Q落在BC上時，x取最大值，作QF⊥AD于點F，BQ=AF= ﹣AO=2 ﹣1，

∴x的取值范圍是0＜x≤2 ﹣1；

探究：半圓K與矩形ABCD的邊相切，分三種情況；

①如圖5，半圓K與BC相切于點T，設直線KT與AD，OQ的初始位置所在的直線分別交于點S，O′，

則∠KSO=∠KTB=90°，

作KG⊥OO′于G，在Rt△OSK中，

OS= =2，

在Rt△OSO′中，SO′=OStan60°=2 ，KO′=2 ﹣ ，

在Rt△KGO′中，∠O′=30°，

∴KG= KO′= ﹣ ，

∴在Rt△OGK中，sinα= = = ，

②當半圓K與AD相切于T，如圖6，

同理可得sinα= = = = ；

③當半圓K與CD切線時，點Q與點D重合，且為切點，

∴α=60°，

∴sinα=sin60 ，

綜上所述sinα的值為： 或 或 ．

【解析】解：發現：（1）在，
當OQ過點B時，在Rt△OAB中，AO=AB，
∴∠DOQ=∠ABO=45°，
∴α=60°﹣45°=15°；
（1）在，當OQ過點B時，在Rt△OAB中，AO=AB，得到∠DOQ=∠ABO=45°，求得α=60°﹣45°=15°；（2）如圖2，連接AP，由OA+AP≥OP，當OP過點A，即α=60°時，等號成立，于是有AP≥OP﹣OA=2﹣1=1，當α=60°時，P、A之間的距離最小，即可求得結果（3）如圖2，設半圓K與PC交點為R，連接RK，過點P作PH⊥AD于點H，過點R作RE⊥KQ于點E，在Rt△OPH中，PH=AB=1，OP=2，得到∠POH=30°，求得α=60°﹣30°=30°，由于AD∥BC，得到∠RPO=∠POH=30°，求出∠RKQ=2×30°=60°，于是得到結果；
拓展：如圖5，由∠OAN=∠MBN=90°，∠ANO=∠BNM，得到△AON∽△BMN求出BN= ，如圖4，當點Q落在BC上時，x取最大值，作QF⊥AD于點F，BQ=AF= ﹣AO=2 ﹣1，求出x的取值范圍是0＜x≤2 ﹣1；
探究：半圓K與矩形ABCD的邊相切，分三種情況；
①如圖5，半圓K與BC相切于點T，設直線KT與AD，OQ的初始位置所在的直線分別交于點S，O′，于是得到∠KSO=∠KTB=90°，作KG⊥OO′于G，在Rt△OSK中，求出OS= =2，在Rt△OSO′中，SO′=OStan60°=2 ，KO′=2 ﹣ 在Rt△KGO′中，∠O′=30°，求得KG= KO′= ﹣ ，在Rt△OGK中，求得結果；②當半圓K與AD相切于T，圖6，同理可得sinα的值③當半圓K與CD切線時，點Q與點D重合，且為切點，得到α=60°于是結論可求．