Question

15．如圖，已知菱形OABC的一邊OA在x軸上，OA∥BC，OC∥AB，且OA=AB=BC=CO，將菱形OABC變換到菱形OA′B′C′的位置，若OB=OB′=2$\sqrt{3}$，∠C=120°，∠BOB′=75°，則點B′的坐標為（　　）

• A． （3，$\sqrt{3}$）
• B． （3，-$\sqrt{3}$）
• C． （$\sqrt{6}$，$\sqrt{6}$）
• D． （$\sqrt{6}$，-$\sqrt{6}$）

Answer 1

分析 首先根據菱形的性質，即可求得∠AOB的度數，又由將菱形OABC繞原點O順時針旋轉75°至OA′B′C′的位置，可求得∠B′OA的度數，然后在Rt△B′OF中，利用三角函數即可求得OF與B′F的長，則可得點B′的坐標．

解答 解：過點B作BE⊥OA于E，過點B′作B′F⊥OA于F，

∴∠BE0=∠B′FO=90°，
∵四邊形OABC是菱形，
∴OA∥BC，∠AOB=$\frac{1}{2}$∠AOC，
∴∠AOC+∠C=180°，
∵∠C=120°，
∴∠AOC=60°，
∴∠AOB=30°，
∵菱形OABC繞原點O順時針旋轉75°至OA′B′C′的位置，
∴∠BOB′=75°，OB′=OB=2$\sqrt{3}$，
∴∠B′OF=45°，
在Rt△B′OF中，
OF=OB′•cos45°=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{6}$，
∴B′F=$\sqrt{6}$，
∴點B′的坐標為：（$\sqrt{6}$，-$\sqrt{6}$）．
故選：D．

點評 此題考查了平行四邊形的性質，旋轉的性質以及直角三角形的性質與三角函數的性質等知識．此題綜合性較強，難度適中，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用．