Question

【題目】如圖1，將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°.

（1）操作發現

如圖2，固定△ABC，使△DEC繞點C旋轉，當點D恰好落在AB邊上時，填空：

①線段DE與AC的位置關系是_________；

②設△BDC的面積為S1，△AEC的面積為S2，則S1與S2的數量關系是____________.

（2）猜想論證

當△DEC繞點C旋轉到圖3所示的位置時，小明猜想（1）中S1與S2的數量關系仍然成立，并嘗試分別作出了△BDC和△AEC中BC、CE邊上的高，請你證明小明的猜想.

（3）拓展探究

已知∠ABC=60°，點D是其角平分線上一點，BD=CD=4，DE//AB交BC于點E（如圖4）.若在射線BA上存在點F，使，請直接寫出相應的BF的長.

Answer 1

【答案】（1）①DE∥AC；②S1＝S2；（2）證明見解析；（3）BF的長為或.

【解析】試題分析：（1）①根據旋轉的性質可得AC=CD，然后求出△ACD是等邊三角形，根據等邊三角形的性質可得∠ACD=60°，然后根據內錯角相等，兩直線平行解答；

②根據等邊三角形的性質可得AC=AD，再根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AC=AB，然后求出AC=BD，再根據等邊三角形的性質求出點C到AB的距離等于點D到AC的距離，然后根據等底等高的三角形的面積相等解答；

（2）根據旋轉的性質可得BC=CE，AC=CD，再求出∠ACN=∠DCM，然后利用“角角邊”證明△ACN和△DCM全等，根據全等三角形對應邊相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面積相等證明；

（3）過點D作DF1∥BE，求出四邊形BEDF1是菱形，根據菱形的對邊相等可得BE=DF1，然后根據等底等高的三角形的面積相等可知點F1為所求的點，過點D作DF2⊥BD，求出∠F1DF2=60°，從而得到△DF1F2是等邊三角形，然后求出DF1=DF2，再求出∠CDF1=∠CDF2，利用“邊角邊”證明△CDF1和△CDF2全等，根據全等三角形的面積相等可得點F2也是所求的點，然后在等腰△BDE中求出BE的長，即可得解．

解：（1）①∵△DEC繞點C旋轉點D恰好落在AB邊上，

∴AC=CD，

∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°，

∴△ACD是等邊三角形，

∴∠ACD=60°，

又∵∠CDE=∠BAC=60°，

∴∠ACD=∠CDE，

∴DE∥AC；

②∵∠B=30°，∠C=90°，

∴CD=AC=AB，

∴BD=AD=AC，

根據等邊三角形的性質，△ACD的邊AC、AD上的高相等，

∴△BDC的面積和△AEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），

即S1=S2；

故答案為：DE∥AC；S1=S2；

（2）如圖，∵△DEC是由△ABC繞點C旋轉得到，

∴BC=CE，AC=CD，

∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°，

∴∠ACN=∠DCM，

∵在△ACN和△DCM中，

，

∴△ACN≌△DCM（AAS），

∴AN=DM，

∴△BDC的面積和△AEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），

即S1=S2；

（3）如圖，過點D作DF1∥BE，易求四邊形BEDF1是菱形，

所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，

此時S△DCF1=S△BDE；

過點D作DF2⊥BD，

∵∠ABC=60°，F1D∥BE，

∴∠F2F1D=∠ABC=60°，

∵BF1=DF1，∠F1BD=∠ABC=30°，∠F2DB=90°，

∴∠F1DF2=∠ABC=60°，

∴△DF1F2是等邊三角形，

∴DF1=DF2，

∵BD=CD，∠ABC=60°，點D是角平分線上一點，

∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°，

∴∠CDF1=180°﹣∠BCD=180°﹣30°=150°，

∠CDF2=360°﹣150°﹣60°=150°，

∴∠CDF1=∠CDF2，

∵在△CDF1和△CDF2中，

，

∴△CDF1≌△CDF2（SAS），

∴點F2也是所求的點，

∵∠ABC=60°，點D是角平分線上一點，DE∥AB，

∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°，

又∵BD=4，

∴BE=×4÷cos30°=2÷=，

∴BF1=，BF2=BF1+F1F2=+=，

故BF的長為或．