Question

如圖：PA是⊙O的切線，A為切點，PBC是過圓心的割線，PA=10，PB=5，則tan∠PAB的值為

 

．

Answer 1

分析：設出BC為x，由BP=2，根據BC+BP表示出PC，再由PA的長，利用切割線定理列出關于x的方程，求出方程的解即可得到BC的長；由PA為圓的切線，根據弦切角等于夾弧所對的圓周角得到一對角相等，再由一對公共角，根據兩對對應角相等的兩三角形相似可得△PBA∽△PAC，根據相似得比例，把PB和PA的長代入得到AC=2AB，從而得出tan∠PAB的值．

解答：解：設BC=x，PC=BC+BP=x+5，PA=4，
∵PA為⊙O的切線，PC為⊙O的割線，
∴PA²=PB•PC，即100=5（x+5），
解得：x=15，
則BC=15；
∵PA為⊙O的切線，
∴∠PAB=∠C，又∠P=∠P，
∴△PBA∽△PAC，
∴

AB

AC

=

PB

PA

，又PB=5，PA=10，
∴AC=2AB，
∴tan∠PAB=tan∠C=

AB

AC

=

1

2

．
故答案為：

1

2

．

點評：本題綜合考查了切線的性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質，切割線定理，其中見了有切線，圓心切點連，利用切線性質將相切轉化為垂直，即構造直角三角形，通過列方程的方法來解決問題中所需的量，此方法稱為“構圖建模計算法”，要求學生把所學知識融匯貫穿，靈活運用．本題的第三問中注意利用轉化的思想來解決角度之間的關系．