Question

如圖，PA是⊙O的割線，且經過圓心O，與⊙O交于B、A兩點，PD切⊙O于點D，AC是⊙O的一條弦，連結PC，且PC=PD．
（1）求證：PC是⊙O的切線；        
（2）若AC=PD，連結BC．求證：AB=2BC．

Answer 1

分析：（1）如圖，連接OC、OD．同全等三角形的判定定理證得SSS推知Rt△OCP≌Rt△ODP，則∠OCP=∠ODP=90°，即OC⊥PC，所以PC是⊙O的切線；        
（2）通過全等三角形（△AOC≌△PBC）的對應邊相等知BC=OC，所以易證AB=2BC．

解答：（1）證明：如圖，連接OC、OD．
∵PD切⊙O于點D，
∴∠ODP=90°．
∵在△OCP與△ODP中，

OC=OD OP=OP PC=PD

，
∴△OCP≌△ODP，
∴∠OCP=∠ODP=90°，即OC⊥PC，
又OC是半徑，
∴PC是⊙O的切線；   
     
（2）如圖，連接BC．
∵PC、PD是⊙O的兩條切線，
∴PC=PD．
又∵AC=PD，
∴AC=PC．
∴∠1=∠4．
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°．
又由（1）知，∠OCP=90°，
∴∠2=∠3，
∴在△AOC與△PBC中，

∠1=∠4 AC=PC ∠2=∠3

，
∴△AOC≌△PBC（ASA），
∴BC=OC，
∴OA=OB=BC
∴AB=OA+OB=2BC．

點評：本題考查了切線的判定與性質，全等三角形的判定與性質．切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．