Question

【題目】如圖，已知直線與⊙O相離，OA⊥于點A,交⊙O于點P,點B是⊙O上一點,連接BP并延長,交直線于點C,使得AB=AC.

（1）求證:AB是⊙O的切線；

（2）若PC=2,OA=4,求⊙O的半徑.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）1.

【解析】試題分析：（1）連結OB，如圖，由等腰三角形的性質得∠1=∠2，∠4=∠5，由OA⊥AC得∠2+∠3=90°，加上∠3=∠4，易得∠5+∠1=90°，即∠OBA=90°，于是根據切線的判定定理可得AB是⊙O的切線；

（2）作OH⊥PB于H，如圖，根據垂徑定理得到BH=PH，設⊙O的半徑為r，則PA=OA-OP=4-r，根據勾股定理得到AC，AB，然后根據相似三角形的性質即可得到結論．

（1）證明：連結OB，

∵AB=AC，

∴∠1=∠2，

∵OA⊥AC，

∴∠2+∠3=90°，

∵OB=OP，

∴∠4=∠5，而∠3=∠4，

∴∠5+∠2=90°，

∴∠5+∠1=90°，即∠OBA=90°，

∴OB⊥AB，

∴AB是⊙O的切線；

（2）解：設⊙O的半徑為r，則PA=OA﹣OP=4﹣r，

在Rt△PAC中，AC2=PC2﹣PA2=（2）2﹣（4﹣r）2，

在Rt△OAB中，AB2=OA2﹣OB2=42﹣r2，而AB=AC，

∴（2 2﹣（4﹣r）2=42﹣r2，

解得r=1，

即⊙O的半徑為1．