Question

【題目】閱讀下面材料：

小明遇到這樣一個問題：

如圖1，△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，點D，E分別在AB，BC上，且∠CDE=90°．當BE=2AD時，圖1中是否存在與CD相等的線段？若存在，請找出并加以證明，若不存在，說明理由．

小明通過探究發現，過點E作AB的垂線EF，垂足為F，能得到一對全等三角形（如圖2），從而將解決問題．

請回答：

（1）小明發現的與CD相等的線段是_____．

（2）證明小明發現的結論；

參考小明思考問題的方法，解決下面的問題：

（3）如圖3，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點D在BC上，BD=2DC，點E在AD上，且∠BEC=135°，求的值．

Answer 1

【答案】（1）DE；（2）證明見解析；（3）.

【解析】試題分析

（1）、（2）：如圖2，作EF⊥AB，垂足為F．由題意可證得△ACD≌△DFE，由此可得 CD=DE，故小明分析的與CD相等的線段是線段DE；

（3）如圖3，過點E作BC的平行線，與AB、AC分別相交于點F、G．由已知條件結合輔助線可證得：BF=CG，△BFE∽△EGC，從而可得 ；由△AFE∽△ABD，△AEG∽△ADC，可得， 從而可得結合 BD=2DC即可得到FE=2EG，由此得到，則可得BF2=2EG2，即BF=EG，即可得到： .

試題解析：

（1）、（2）如圖2，作EF⊥AB，垂足為F．

則∠BFE=∠DFE=90°═∠A═∠CDE．

∵∠ADC+∠CDE=∠ADE=∠DFE+∠FED，

∴∠ADC=∠FED．

∵∠BFE=90°，∠B=30°，

∴BE=2FE．

∵BE=2AD，

∴FE=AD．

在△FED和△ADC中，

∠FED=∠ADC，∠DFE=∠CAD，FE=AD，

∴△FED≌△ADC．

∴DE=CD，

故（1）中小明所發現的與CD相等的線段是DE；

（3）如圖3，過點E作BC的平行線，與AB、AC分別相交于點F、G．

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠ABC=∠ACB=45°．

∵FG∥BC，

∴∠AFG=∠ABC=∠ACB=∠AGF=45°，∠BFE=135°=∠EGC．

∴AF=AG．BF=GC．

∵∠GEC+∠CEB=∠GEB=∠EFB+∠FBE，

∴∠FBE=∠GEC

∴△BFE∽△EGC．

∴，

∵FG∥BC，

∴△AFE∽△ABD，△AEG∽△ADC，

∴， ，

∴

∵BD=2DC，

∴FE=2EG，

∴，

∴，

∴