Question

【題目】在學習了軸對稱知識之后，數學興趣小組的同學們對課本習題進行了深入研究，請你跟隨興趣小組的同學，一起完成下列問題．

(1)（課本習題）如圖①，△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長BC至E，使CE=CD． 求證：DB=DE

(2)（嘗試變式）如圖②，△ABC是等邊三角形，D是AC邊上任意一點，延長BC至E，使CE=AD．

求證：DB=DE．

(3)（拓展延伸）如圖③，△ABC是等邊三角形，D是AC延長線上任意一點，延長BC至E，使CE=AD請問DB與DE是否相等? 并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）DB=DE成立，證明見詳解

【解析】

（1）由等邊三角形的性質，得到∠CBD=30°，∠ACB=60°，由CD=CE，則∠E=∠CDE=30°，得到∠E=∠CBD=30°，即可得到DB=DE；

（2）過點D作DG∥AB，交BC于點G，證明△BDC≌△EDG，根據全等三角形的性質證明結論；

（3）過點D作DF∥AB交BE于F，由“SAS”可證△BCD≌△EFD，可得DB=DE．

證明：（1）∵△ABC是等邊三角形

∴∠ABC=∠BCA=60°，

∵點D為線段AC的中點，

∴BD平分∠ABC，AD=CD，

∴∠CBD=30°，

∵CD=CE，

∴∠CDE=∠CED，

又∵∠CDE+∠CED=∠BCD，

∴2∠CED=60°，

∴∠CED=30°=∠CBD，

∴DB=DE；

（2）過點D作DG∥AB，交BC于點G，如圖，

∴∠DGC=∠ABC=60°，又∠DCG=60°，

∴△DGC為等邊三角形，

∴DG=GC=CD，

∴BC-GC=AC-CD，即AD=BG，

∵AD=CE，

∴BG=CE，

∴BC=GE，

在△BDC和△EDG中，

，

∴△BDC≌△EDG（SAS）

∴BD=DE；

（3）DB=DE成立，

理由如下：過點D作DF∥AB交BE于F，

∴∠CDF=∠A，∠CFD=∠ABC，

∵△ABC是等邊三角形

∴∠ABC=∠BCA=∠A=60°，BC=AC=AB，

∴∠CDF=∠CFD=60°=∠ACB=∠DCF，

∴△CDF為等邊三角形

∴CD=DF=CF，

又AD=CE，

∴AD-CD=CE-CF，

∴BC=AC=EF，

∵∠BCD=∠CFD+∠CDF=120°，

∠DFE=∠FCD+∠FDC=120°，

∴∠BCD=∠DFE，且BC=EF，CD=DF，

∴△BCD≌△EFD（SAS）

∴DB=DE．