Question

【題目】綜合與探究

如圖，在平面直角坐標系中，直線交軸于點，交軸于點，且與直線相交于點，動點在軸上運動．

（1）求直線的函數表達式；

（2）求使的周長最小時點的坐標；

（3）在軸上是否存在點，使是以為直角邊的直角三角形？如果存在，直接寫出點的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）P；（3）滿足條件的點，

【解析】

（1）設直線的函數表達式為，將，代入連立方程組求解即可；

（2）作點關于軸的對稱點，連接交軸于點，此時最小，即的周長最小，設直線的函數表達式為，代入C點坐標求得函數關系式，令，即可得到P點坐標.

（3）設CP的函數關系式為y=mx+n，當CP垂直AB時，∠PCA=90°，求得m的值，將m和C點坐標代入即可求得CP的函數關系式，即可求得P點坐標，當∠PAB=90°同理也可求解.

解：（1）設直線的函數表達式為，

，在直線上，

，

解，得．

直線的函數表達式為．

（2）如圖，作點關于軸的對稱點，

連接交軸于點，此時最小，即的周長最小；

設直線的函數表達式為，

，

，

解得

直線的函數表達式為

令，得，

（3）設CP的函數關系式為y=mx+n

當CP垂直AB時，∠PCA=90°，

kab×m=-1，

∴m=，

將m=，代入y=mx+n可得

n=-1,

∴CP：

當x=0時，y=-1，

即P1的坐標為，

設CA的函數關系式為y=cx+d，

當CA垂直AB時，∠PAB=90°，

kab×c=-1，

∴c=，

將c=，代入y=cx+d可得

d=,

∴CA：

當x=0時，y=-1，

即P2的坐標為，

∴滿足條件的點，