Question

【題目】問題發現：如圖1，△ABC是等邊三角形，點D是邊AD上的一點，過點D作DE∥BC交AC于E，則線段BD與CE有何數量關系？

拓展探究：如圖2，將△ADE繞點A逆時針旋轉角α（0°＜α＜360°），上面的結論是否仍然成立？如果成立，請就圖中給出的情況加以證明．

問題解決：如果△ABC的邊長等于2，AD＝2，直接寫出當△ADE旋轉到DE與AC所在的直線垂直時BD的長．

Answer 1

【答案】問題發現：BD＝CE；拓展探究：結論仍然成立，見解析；問題解決：BD的長為2和2．

【解析】

問題發現：如圖1，由平行線分線段成比例定理可得BD＝CE；

拓展探究：如圖2，證明△BAD≌△CAE，可得BD＝CE；

問題解決：分兩種情況：①如圖3，在直角三角形中，根據30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出DG＝1，由勾股定理求出AG＝，得出BG，從而計算出BD的長．

②如圖4，求EF的長和CF的長，根據勾股定理在Rt△EFC中求EC的長，所以BD＝EC＝2．

解: 問題發現：如圖1,BD=CE,理由是

∵△ABC是等邊三角形,

∴AB=AC,

∵DE∥BC,

∴BD=CE,
拓展探究：結論仍然成立,如圖2,
由圖1得,△ADE是等邊三角形,

∴AD=AE,
由旋轉得∠BAD=∠CAE,△BAD≌△CAE,(旋轉的性質)
∴BD=CE,
問題解決：當△ADE旋轉到DE與AC所在的直線垂直時,設垂足為點F,此時有兩種情況:

①如圖3,

∵△ADE是等邊三角形,AF⊥DE,

∴∠DAF=∠EAF=30°,
∴∠BAD=30°,
過D作DG⊥AB,垂足為G,

∵AD=2,
∴DG=1,AG=,

∵AB=2,
∴BG=AB-AG=,
∴BD=2（勾股定理）,
②如圖4,

同理得△BAD≌△CAE,

∴BD=CE,
∵△ADE是等邊三角形,

∴∠ADE=60°,
∵AD=AE,DE⊥AC,
∴∠DAF=∠EAF=30°,
∴EF=FD=AD=1,

∴AF=,
∴CF=AC+CF=2+=3,

在Rt△EFC中,EC=,

∴BD=EC=2.

綜上所述,BD的長為2和2.