Question

【題目】如圖，已知拋物線經過A（3，0），B（0，3）兩點．

（1）求此拋物線的解析式和直線AB的解析式；

（2）如圖①，動點E從O點出發，沿著OA方向以1個單位/秒的速度向終點A勻速運動，同時，動點F從A點出發，沿著AB方向以個單位/秒的速度向終點B勻速運動，當E，F中任意一點到達終點時另一點也隨之停止運動，連接EF，設運動時間為t秒，當t為何值時，△AEF為直角三角形？

（3）如圖②，取一根橡皮筋，兩端點分別固定在A，B處，用鉛筆拉著這根橡皮筋使筆尖P在直線AB上方的拋物線上移動，動點P與A，B兩點構成無數個三角形，在這些三角形中是否存在一個面積最大的三角形？如果存在，求出最大面積，并指出此時點P的坐標；如果不存在，請簡要說明理由．

Answer 1

【答案】（1），y=﹣x+3；（2）；（3）存在面積最大，最大是，此時點P（，）．

【解析】

試題分析：（1）用待定系數法求出拋物線，直線解析式；

（2）分兩種情況進行計算即可；

（3）確定出面積達到最大時，直線PC和拋物線相交于唯一點，從而確定出直線PC解析式，根據銳角三角函數求出BD，計算即可．

試題解析：（1）∵拋物線經過A（3，0），B（0，3）兩點，∴，∴，∴，設直線AB的解析式為y=kx+n，∴，∴，∴y=﹣x+3；

（2）由運動得，OE=t，AF=t，∴AE=OA﹣OE=3﹣t，∵△AEF為直角三角形，∴①△AOB∽△AEF，∴，∴，∴t=，②△AOB∽△AFE，∴，∴，∴t=；

（3）如圖，存在，過點P作PC∥AB交y軸于C，∵直線AB解析式為y=﹣x+3，∴設直線PC解析式為y=﹣x+b，聯立，∴，∴，∴△=9﹣4（b﹣3）=0，∴b=，∴BC=﹣3=，x=，∴ P（，）．

過點B作BD⊥PC，∴直線BD解析式為y=x+3，∴BD=，∴BD=，∵AB=，S最大=AB×BD==．

即：存在面積最大，最大是，此時點P（，）．