Question

（2012•北京）已知二次函數y=（t+1）x²+2（t+2）x+

3

2

在x=0和x=2時的函數值相等．
（1）求二次函數的解析式；
（2）若一次函數y=kx+6的圖象與二次函數的圖象都經過點A（-3，m），求m和k的值；
（3）設二次函數的圖象與x軸交于點B，C（點B在點C的左側），將二次函數的圖象在點B，C間的部分（含點B和點C）向左平移n（n＞0）個單位后得到的圖象記為G，同時將（2）中得到的直線y=kx+6向上平移n個單位．請結合圖象回答：當平移后的直線與圖象G有公共點時，求n的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把x=0和x=2代入得出關于t的方程，求出t即可；
（2）把A的坐標代入拋物線，即可求出m，把A的坐標代入直線，即可求出k；
（3）求出點B、C間的部分圖象的解析式是y=-

1

2

（x-3）（x+1），得出拋物線平移后得出的圖象G的解析式是y=-

1

2

（x-3+n）（x+1+n），-n-1≤x≤3-n，直線平移后的解析式是y=4x+6+n，若兩圖象有一個交點時，得出方程4x+6+n=-

1

2

（x-3+n）（x+1+n）有兩個相等的實數解，求出判別式△=6n=0，求出的n的值與已知n＞0相矛盾，得出平移后的直線與拋物線有兩個公共點，
設兩個臨界的交點為（-n-1，0），（3-n，0），代入直線的解析式，求出n的值，即可得出答案．

解答：（1）解：∵二次函數y=（t+1）x²+2（t+2）x+

3

2

在x=0和x=2時的函數值相等，
∴代入得：0+0+

3

2

=4（t+1）+4（t+2）+

3

2

，
解得：t=-

3

2

，
∴y=（-

3

2

+1）x²+2（-

3

2

+2）x+

3

2

=-

1

2

x²+x+

3

2

，
∴二次函數的解析式是y=-

1

2

x²+x+

3

2

．

（2）解：把A（-3，m）代入y=-

1

2

x²+x+

3

2

得：m=-

1

2

×（-3）²-3+

3

2

=-6，
即A（-3，-6），
代入y=kx+6得：-6=-3k+6，
解得：k=4，
即m=-6，k=4．

（3）解：由題意可知，點B、C間的部分圖象的解析式是y=-

1

2

x²+x+

3

2

=-

1

2

（x²-2x-3）=-

1

2

（x-3）（x+1），-1≤x≤3，
則拋物線平移后得出的圖象G的解析式是y=-

1

2

（x-3+n）（x+1+n），-n-1≤x≤3-n，
此時直線平移后的解析式是y=4x+6+n，
如果平移后的直線與平移后的二次函數相切，
則方程4x+6+n=-

1

2

（x-3+n）（x+1+n）有兩個相等的實數解，
即-

1

2

x²-（n+3）x-

1

2

n²-

9

2

=0有兩個相等的實數解，
判別式△=[-（n+3）]²-4×（-

1

2

）×（-

1

2

n²-

9

2

）=6n=0，
即n=0，
∵與已知n＞0相矛盾，
∴平移后的直線與平移后的拋物線不相切，
∴結合圖象可知，如果平移后的直線與拋物線有公共點，
則兩個臨界的交點為（-n-1，0），（3-n，0），
則0=4（-n-1）+6+n，
n=

2

3

，
0=4（3-n）+6+n，
n=6，
即n的取值范圍是：

2

3

≤n≤6．

點評：本題考查了二次函數和一次函數的性質，平移的性質，根的判別式等知識點的應用，通過做此題培養了學生的分析問題和解決問題的能力，題目綜合性比較強，有一定的難度．