Question

如圖，⊙O是△ABC的內切圓，與AB、BC、CA分別相切于點D、E、F，∠DEF=45度．連接BO并延長交AC于點G，AB=4，AG=2．
（1）求∠A的度數；
（2）求⊙O的半徑．

Answer 1

（1）連接OD，OF，
∵⊙O是△ABC的內切圓，
∴OD⊥AB，OF⊥AC，又∠DOF=2∠DEF=2×45°=90°，
∴∠ODA=∠OFA=∠DOF=90°，
∴四邊形ADOF是矩形，
∴∠A=90°；

（2）設⊙O的半徑為r，
由（1）知四邊形ADOF是矩形，又OD=OF，
∴四邊形ADOF是正方形．
∴OD∥AC．
∴△BOD∽△BGA．
∴

DO

AG

=

BD

BA

．
即

r

2

=

4-r

4

，
解得r=

4

3

．
∴⊙O的半徑為

4

3

．