Question

【題目】綜合與實踐
在數學活動課上，老師給出如下問題，讓同學們展開探究活動：
問題情境：
如圖（1），在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=a，點D為AB上一點（0＜AD＜ AB），將線段CD繞點C逆時針旋轉90°，得到的對應線段為CE，過點E作EF∥AB，交BC于點F．請你根據上述條件，提出恰當的數學問題并解答．

解決問題：
下面是學習小組提出的三個問題，請你解答這些問題：
（1）“興趣”小組提出的問題是：求證：AD=EF．
（2）“實踐”小組提出的問題是：如圖（2），若將△ACD沿AB的垂直平分線對折，得到△BCG，連接EG，則線段EG與EF有怎樣的數量關系？請說明理由．

（3）“奮進”小組在“實踐”小組探究的基礎上，提出了如下問題：延長EF與AC交于點H，連接HD，FG．求證：四邊形DGFH是矩形．
提出問題：
（4）完成上述問題的探究后，老師讓同學們結合圖（3），提一個與四邊形DGFH有關的問題．
“智慧”小組提出的問題是：當AD為何值時，四邊形DGFH的面積最大？
請你參照智慧小組的做法，再提出一個與四邊形DGFH有關的數學問題（提出問題即可，不要求進行解答，但所提問題必須有效）
你提出的問題是：

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接BE，如圖1所示：

∵∠DCE=∠ACB=90°，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中， ，

∴△ACD≌△BCE（SAS）．

∴AD=BE，∠CBE=∠CAD=45°．

∴∠ABE=90°．

∵EF∥AB，

∴∠FEB+∠ABE=180°，

∴∠FEB=90°，

∴∠EFB=∠EBF=45°，

∴EF=BE，

∴AD=EF

（2）解：EG= EF．理由如下：如圖2所示，連接BE．

由（1）可知，BE=AD，EF=AD，BE⊥AB．

∵AD=BG，

∴BE=BG=EF，

∴∠BGE=∠BEG=45°，

∴EG= BG，

∴EG= EF

（3）證明：如圖3所示，連接BE．

∵FH∥AB，

∴∠CHF=∠A=45°，∠CFH=∠B=45°，

∴∠CHF=∠CFH，

∴CH=CF．

∵△ACD與△BCG對稱，點D的對應點為G，

∴CD=CG，∠HCD=∠FCG，

在△HCD和△FCG中，

∴△HCD≌△FCG（SAS），

∴DH=FG，∠CDH=∠CGF．

又∵∠CDA=∠CGB，

∴∠HDA=∠FGB．

由（1），（2）可知，BG=EF=BE，BG∥EF，∠EBG=90°，

∴四邊形BEFG為正方形，

∴∠FGB=90°．

∴∠HDG=∠HDA=90°．

∴HD∥FG，

又∵HF∥DG，

∴四邊形DGFH是平行四邊形，

∴四邊形DGFH為矩形

（4）當AD為何值時,四邊形DGFH為正方形
【解析】（4）解：當AD為何值時，四邊形DGFH為正方形（答案不唯一）；

所以答案是：當AD為何值時，四邊形DGFH為正方形．

【考點精析】通過靈活運用翻折變換（折疊問題）和旋轉的性質，掌握折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應點的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和角相等；①旋轉后對應的線段長短不變，旋轉角度大小不變；②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變；③旋轉后物體或圖形不變，只是位置變了即可以解答此題．