Question

如圖，Rt△AOB的兩直角邊OA，OB分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，O為坐標原點，A，B兩點的坐標分別為（-3，0）．（0，4），拋物線y=

2

3

x²+bx+c經過點B，點M（

5

2

，

3

2

）是該拋物線對稱軸上的一點．
（1）b=

-

10

3

，c=

4

；
（2）若把△AOB沿x軸向右平移得到△DCE，點A，B，O的對應點分別為D，C，E，當四邊形ABCD是菱形時，試判斷點C和點D是否在該拋物線上，并說明理由；
（3）在（2）的條件下，連接BD．若點P是線段OB上的一個動點（點P與點O，B不重合），過點P作PQ∥BD交x軸于點Q，連接PM，QM．設OP的長為t，△PMQ的面積為S．
①當t為何值時，點Q，M，C三點共線；
②求S與t的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍．S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據點M是拋物線對稱軸上的點列式求解即可得到b，把點B的坐標代入拋物線求解即可得到c；
（2）利用勾股定理列式求出AB，再根據菱形的四條邊都相等表示出點D、C的坐標，然后根據拋物線圖象上點的坐標特征進行驗證即可；
（3）①利用待定系數法求一次函數解析式求出直線MC，令y=0解方程求出點Q的坐標，從而得到OQ的長，根據點D的坐標求出OD的長，再根據△OPQ和△OBD相似，利用相似三角形對應邊成比例列式求出OP的長，即可得解；
②設拋物線對稱軸與x軸交點為N，表示出OQ、QN，然后根據S_△PMQ=S_梯形MNOP-S_△OPQ-S_△MNQ，列式整理即可得解；根據點P在線段OB上求出t的取值范圍，然后根據二次函數的最值問題解答．

解答：解：（1）∵點M（

5

2

，

3

2

）是該拋物線對稱軸上的一點，
∴-

b

2a

=-

b

2× 2 3

=

5

2

，
解得a=-

10

3

，
∵點B（0，4）在拋物線上，
∴x=0時，c=4，
∴拋物線為y=

2

3

x²-

10

3

x+4；
故答案為：-

10

3

；4；

（2）∵A（-3，0），B（0，4），
∴OA=3，OB=4，
由勾股定理得，AB=

OA2+OB2

=

32+42

=5，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=BC=AB=5，
∴點C（5，4），D（2，0），
當x=5時，y=

2

3

×5²-

10

3

×5+4=4，
當x=2時，y=

2

3

×2²-

10

3

×2+4=0，
∴點C、D都在該拋物線上；

（3）①設直線MC的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

5 2 k+b= 3 2 5k+b=4

，
解得

k=1 b=-1

，
∴直線MC的解析式為y=x-1，
令y=0，則x-1=0，
解得x=1，
∴點Q，M，C三點共線時，OQ=1，
∵D（2，0），
∴OD=2，
∵PQ∥BD，
∴△OPQ∽△OBD，
∴

OP

OB

=

OQ

OD

，
即

t

4

=

1

2

，
解得t=2，
即t=2時，點Q，M，C三點共線；

②如圖，設拋物線對稱軸與x軸交點為N，
則OQ=

OP

OB

•OD=

t

4

×2=

t

2

，ON=

5

2

，QN=

5

2

-

t

2

，
S_△PMQ=S_梯形MNOP-S_△OPQ-S_△MNQ，
=

1

2

×（

3

2

+t）×

5

2

-

1

2

×

t

2

×t-

1

2

×（

5

2

-

t

2

）×

3

2

，
=-

1

4

t²+

13

8

t，
∵點P是線段OB上的一個動點（點P與點O，B不重合），
∴0＜t＜4，
∴S與t的函數關系式為S=-

1

4

t²+

13

8

t（0＜t＜4）；
∵-

1

4

＜0，
∴t=-

13 8

2×(- 1 4 )

=

13

4

時，有最大值，
最大值為

-( 13 8 )2

4×(- 1 4 )

=

169

64

，此時P（0，

13

4

）．

點評：本題是二次函數綜合題型，主要利用了拋物線的頂點坐標，二次函數圖象上點的坐標特征，相似三角形的判定與性質，待定系數法求一次函數解析式，三角形的面積的表示，以及二次函數的最值問題．