Question

如圖，Rt△AOB的兩直角邊OB、OA分別位于x軸、y軸上，OA=6，OB=8．

（1）如圖1，將△AOB折疊，點B恰好落在點O處，折痕為CD₁，求出D₁的坐標；
（2）如圖2，將△AOB折疊，點O恰好落在AB邊上的點C處，折痕為AD₂，求出D₂的坐標；
（3）如圖3，將△AOB折疊，點O落在△AOB內的點C處，OD₃=2，折痕為AD₃，AD₃與OC交于點E，求出點C的橫坐標．

Answer 1

分析：（1）根據折疊的性質可得OD₁=BD₁，然后求出OD₁，再寫出點D₁的坐標即可；
（2）利用勾股定理列式求出AB，再根據折疊的性質可得AC=OA，OD₂=CD₂，然后表示出BC，設OD₂=x，表示出BD₂，在Rt△BCD₂中，利用勾股定理列出方程求出x，再寫出點D₁的坐標；
（3）在Rt△AOD₃中，利用勾股定理列式求出AD₃，根據翻折的性質可得OE⊥AD₃且OC=2OE，然后利用三角形的面積求出OE的長，從而得到OC的長，過點C作CF⊥x軸于F，然后求出△AOD₃和△OFC相似，根據相似三角形對應邊成比例列式求出OF、CF，再根據點C在第一象限寫出坐標即可．

解答：解：（1）由折疊的性質得，OD₁=BD₁，
所以，OD₁=

1

2

OB=

1

2

×8=4，
所以點D₁（4，0）；

（2）∵OA=6，OB=8，
∴AB=

OA2+OB2

=

62+82

=10，
由折疊的性質得，AC=OA=6，OD₂=CD₂，
∴BC=AB-AC=10-6=4，
設OD₂=x，則BD₂=8-x，
在Rt△BCD₂中，CD₂²+BC²=BD₂²，
即x²+4²=（8-x）²，
解得x=3，
∴點D₂的坐標為（3，0）；

（3）在Rt△AOD₃中，AD₃=

OA2+OD32

=

62+22

=2

10

，
由翻折的性質得，OE⊥AD₃且OC=2OE，
S_△AOD3=

1

2

AD₃•OE=

1

2

OA•OD₃，
∴

1

2

×2

10

OE=

1

2

×6×2，
解得OE=

3 10

5

，
∴OC=2×

3 10

5

=

6 10

5

，
過點C作CF⊥x軸于F，
∵∠COF+∠AD₃O=180°-90°=90°，
∠AD₃O+∠OAD₃=90°，
∴∠OAD₃=∠COF，
又∵∠AOD₃=∠OFC=90°，
∴△AOD₃∽△OFC，
∴

OF

OA

=

CF

OD3

=

OC

AD3

，
即

OF

6

=

CF

2

=

6 10 5

2 10

=

3

5

，
解得OF=

18

5

，CF=

6

5

，
所以，點C的坐標為（

18

5

，

6

5

）．

點評：本題考查了翻折變換的性質，坐標與圖形性質，主要利用了勾股定理，相似三角形的判定與性質，此類題目，熟記各性質并根據勾股定理列出方程是解題的關鍵．