Question

【題目】如圖9.1，在△ABC中，∠BAC=90°，點(diǎn)D為AB邊上的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥BC于E，連接CD，過點(diǎn)A作AF∥DE交CD于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，連接EF.

（1）求證：△BED∽△BAC；

（2）寫出所有與△BED相似的三角形（△BAC除外）；

（3）如圖9.2，若四邊形ADEF是菱形，連接對(duì)角線AE與DF相交于點(diǎn)O.

①求證：OA2=OC·OF；

②當(dāng)AE=12，CF=5時(shí)，求OF的長，并直接寫出△BED與△BAC的相似比的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）△BED∽△BGA ，△BED∽△AGC；（3）①證明見解析；②.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等兩三角形相似即可判定．

（2）根據(jù)相似三角形的判定方法即可判斷．

（3）①只要證明△OAF∽△OCA，可得，由此即可證明．

②利用勾股定理求出DE、AC即可解決問題．

試題解析：（1）∵DE⊥BC，∠BAC=90°

∴ ∠BED=∠BAC=90°，

∵ ∠B=∠B.

∴ △BED∽△BAC

（2）△BED∽△BGA ，△BED∽△AGC

（3）①如圖，∵四邊形ADEF是菱形，

∴AD=AF，AE⊥DF

∴ ∠1=∠2，∠AOF=90°

∴ ∠2+∠3=90°.

∵∠BAC=90°，

∴ ∠1+∠4=90°.

∴ ∠3=∠4.

∵∠AOC=∠AOC.

∴ △OAF∽△OCA.

∴,

∴OA2=OC·OF.

②設(shè)OF=x，則OC=x+5.

∵四邊形ADEF是菱形，AE=12，

∴OA=AE=6

由①可知OA2=OC·OF，列方程得：36=x(x+5)，

解得：x1=4，x2=-9（不合題意，舍去）

∴OF的長為4.

△BED與△BAC的相似比.