Question

【題目】在△ABC中，∠A=60°，BD，CE是△ABC的兩條角平分線，且BD，CE交于點F，如圖所示，用等式表示BE，BC，CD這三條線段之間的數量關系，并證明你的結論；

曉東通過觀察，實驗，提出猜想：BE+CD=BC，他發現先在BC上截取BM，使BM=BE，連接FM，再利用三角形全等的判定和性質證明CM=CD即可．

（1）下面是小東證明該猜想的部分思路，請補充完整；

①在BC上截取BM，使BM=BE，連接FM，則可以證明△BEF與______全等，判定它們全等的依據是______；

②由∠A=60°，BD，CE是△ABC的兩條角平分線，可以得出∠EFB=______°；

（2）請直接利用①，②已得到的結論，完成證明猜想BE+CD=BC的過程．

Answer 1

【答案】（1）①△BMF，SAS；②60；（2）見解析

【解析】

（1）①由BD，CE是△ABC的兩條角平分線知∠FBE=∠FBC=∠ABC，結合BE=BM，BF=BF，依據“SAS”即可證得△BEF≌△BMF；

②利用三角形內角和求出∠ABC+∠ACB=120°，進而得出∠FBC+∠FCB=60°，得出∠BFC=120°，即可得出結論；

（2）利用角平分線得出∠EBF=∠MBF，進而得出△BEF≌△BMF，求出∠BFM，即可判斷出∠CFM=∠CFD，即可判斷出△FCM≌△FCD，即可得出結論．

（1）解：①在BC上取一點M，使BM=BE，連接FM，如圖所示：

∵BD、CE是△ABC的兩條角平分線，

∴∠FBE=∠FBM=∠ABC，

在△BEF和△BMF中，，

∴△BEF≌△BMF（SAS），

故答案為：△BMF，SAS；

②∵BD、CE是△ABC的兩條角平分線，

∴∠FBC+FCB=（∠ABC+∠ACB），

在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，

∵∠A=60°，

∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-60°=120°，

∴∠BFC=180°-（∠FBC+∠FCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-×120°=120°，

∴∠EFB=60°，

故答案為：60；

（2）證明：由①知，∠BFE=60°，

∴∠CFD=∠BFE=60°

∵△BEF≌△BMF，

∴∠BFE=∠BFM=60°，

∴∠CFM=∠BFC-∠BFM=120°-60°=60°，

∴∠CFM=∠CFD=60°，

∵CE是∠ACB的平分線，

∴∠FCM=∠FCD，

在△FCM和△FCD中，，

∴△FCM≌△FCD（ASA），

∴CM=CD，

∴BC=CM+BM=CD+BE，

∴BE+CD=BC．