Question

【題目】如圖，隧道的截面由拋物線和長方形構成，長方形的長是12m，寬是4m．按照圖中所示的直角坐標系，拋物線可以用y=﹣x2+bx+c表示，且拋物線的點C到墻面OB的水平距離為3m時，到地面OA的距離為m．

（1）求該拋物線的函數關系式，并計算出拱頂D到地面OA的距離；

（2）一輛貨運汽車載一長方體集裝箱后高為6m，寬為4m，如果隧道內設雙向行車道，那么這輛貨車能否安全通過？

（3）在拋物線型拱壁上需要安裝兩排燈，使它們離地面的高度相等，如果燈離地面的高度不超過8m，那么兩排燈的水平距離最小是多少米？

Answer 1

【答案】（1）拱頂D到地面OA的距離為10m；（2）這輛貨車能安全通過；（3）兩排燈的水平距離最小是4m．

【解析】試題分析：（1）先確定B點和C點坐標，然后利用待定系數法求出拋物線解析式，再利用配方法確定頂點D的坐標，從而得到點D到地面OA的距離；

（2）由于拋物線的對稱軸為直線x=6，而隧道內設雙向行車道，車寬為4m，則貨運汽車最外側與地面OA的交點為（2，0）或（10，0），然后計算自變量為2或10的函數值，再把函數值與6進行大小比較即可判斷；

（3）拋物線開口向下，函數值越大，對稱點之間的距離越小，于是計算函數值為8所對應的自變量的值即可得到兩排燈的水平距離最小值．

解：（1）根據題意得B（0，4），C（3，），

把B（0，4），C（3，）代入y=﹣x2+bx+c得，

解得．

所以拋物線解析式為y=﹣x2+2x+4，

則y=﹣（x﹣6）2+10，

所以D（6，10），

所以拱頂D到地面OA的距離為10m；

（2）由題意得貨運汽車最外側與地面OA的交點為（2，0）或（10，0），

當x=2或x=10時，y=＞6，

所以這輛貨車能安全通過；

（3）令y=8，則﹣（x﹣6）2+10=8，解得x1=6+2，x2=6﹣2，

則x1﹣x2=4，

所以兩排燈的水平距離最小是4m．