Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知點A（2，0），點B（0，2），點O（0，0）．△AOB繞著O順時針旋轉，得△A′OB′，點A、B旋轉后的對應點為A′、B′，記旋轉角為α．

（I）如圖1，若α=30°，求點B′的坐標；

（Ⅱ）如圖2，若0°＜α＜90°，設直線AA′和直線BB′交于點P，求證：AA′⊥BB′；

（Ⅲ）若0°＜α＜360°，求（Ⅱ）中的點P縱坐標的最小值（直接寫出結果即可）．

Answer 1

【答案】（1）B'的坐標為（，3）；（2）見解析 ；（3）﹣2．

【解析】

（1）設A'B'與x軸交于點H，由OA=2，OB=2，∠AOB=90°推出∠ABO=∠B'=30°，

由∠BOB'=α=30°推出BO∥A'B'，由OB'=OB=2推出OH=OB'=，B'H=3即可得出；

（2）證明∠BPA'=90即可；

（3）作AB的中點M（1，），連接MP，由∠APB=90°，推出點P的軌跡為以點M為圓心，以MP=AB=2為半徑的圓，除去點（2，），所以當PM⊥x軸時，點P縱坐標的最小值為﹣2．

（Ⅰ）如圖1，設A'B'與x軸交于點H，

∵OA=2，OB=2，∠AOB=90°，

∴∠ABO=∠B'=30°，

∵∠BOB'=α=30°，

∴BO∥A'B'，

∵OB'=OB=2，

∴OH=OB'=，B'H=3，

∴點B'的坐標為（，3）；

（Ⅱ）證明：∵∠BOB'=∠AOA'=α，OB=OB'，OA=OA'，

∴∠OBB'=∠OA'A=（180°﹣α），

∵∠BOA'=90°+α，四邊形OBPA'的內角和為360°，

∴∠BPA'=360°﹣（180°﹣α）﹣（90°+α）=90°，

即AA'⊥BB'；

（Ⅲ）點P縱坐標的最小值為．

如圖，作AB的中點M（1，），連接MP，

∵∠APB=90°，

∴點P的軌跡為以點M為圓心，以MP=AB=2為半徑的圓，除去點（2，）．

∴當PM⊥x軸時，點P縱坐標的最小值為﹣2．