Question

已知：拋物線y=-x²+bx+c經過點A（1，0）、B（0，5）．
（1）求拋物線的解析式．
（2）設（1）中拋物線與x軸的另一交點為C，拋物線的頂點為D，試求△BCD的面積．
（3）將拋物線及△BCD同時向右平移a（0＜a＜5）個單位，那么△BCD將會被y軸分為兩部分，如果被y軸截得的三角形面積等于△BCD面積的，求此時拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）將點A、點B的坐標代入拋物線解析式可得出b、c的值，繼而得出拋物線解析式；
（2）根據拋物線解析式求出點C、點A的坐標，過點D作DM⊥x軸于點M，根據S_△BCD=S_梯形BOMD+S_△DCM-S_△BOC，可得出△BCD的面積；
（3）分兩種情況討論，①點D在y軸左側，②點D在y軸右側，根據△BCD被y軸截得的三角形面積等于△BCD面積的，可得出a的方程，解出即可得出答案．
解答：解：（1）將點A（1，0）、點B（0，5）代入拋物線y=-x²+bx+c可得：，
解得：，
故拋物線解析式為：y=-x²-4x+5．

（2）由y=-x²-4x+5，
令y=0，得-x²-4x+5=0，
解得：x₁=-5，x₂=1，
則點C的坐標為（-5，0），
由拋物線頂點坐標可得點D的坐標為（-2，9），
過點D作DM⊥x軸于點M，
則S_△BCD=S_梯形BOMD+S_△DCM-S_△BOC=×（5+9）×2+×3×9-×5×5=15；

（3）平移后點B的坐標為（a，5），點C的坐標為（-5+a，0），點D的坐標為（-2+a，9），
則直線BC的解析式為：y=x+5-a，
直線CD的解析式為：y=3x+15-3a，
直線BD的解析式為：y=-2x+2a+5，
①當點D在y軸左側或y軸上時，0＜a≤2，如圖1所示：

點F的坐標為（0，2a+5），點E的坐標為（0，5-a），
過點B作BH⊥y軸于點H，
S_△BEF=EF×BH==×15，
解得：a=或-（舍去）；
②當點D在y軸右側時，2＜a＜5，如圖2所示：

點F的坐標為（0，-15-3a），點E的坐標為（0，5-a），
S_△CEF=EF×OC=a²-10a+25=×15，
解得：a=5+（舍去）或a=5-，
綜上可得：當a=時，拋物線解析式為：y=-（x+2-）²+9；
當a=5-時，拋物線解析式為：y=-（x-3+）²+9．
點評：本題考查了二次函數的綜合，涉及了待定系數法求二次函數解析式、三角形的面積及二次函數的幾何變換，綜合考察的知識點較多，同學們注意培養自己解答綜合題的能力，能將所學知識融會貫通．