Question

已知拋物線y=x²-4x+1，將此拋物線沿x軸方向向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，得到一條新的拋物線．
（1）求平移后的拋物線解析式；
（2）由拋物線對(duì)稱(chēng)軸知識(shí)我們已經(jīng)知道：直線x=m，即為過(guò)點(diǎn)（m，0）平行于y軸的直線，類(lèi)似地，直線y=m，即為過(guò)點(diǎn)（0，m）平行于x軸的直線、請(qǐng)結(jié)合圖象回答：當(dāng)直線y=m與這兩條拋物線有且只有四個(gè)交點(diǎn)，實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）若將已知的拋物線解析式改為y=x²+bx+c（b＜0），并將此拋物線沿x軸向左平移-b個(gè)單位長(zhǎng)度，試回答（2）中的問(wèn)題．

Answer 1

分析：（1）將已知的拋物線化為頂點(diǎn)式，然后根據(jù)“左加右減，上加下減”的平移規(guī)律進(jìn)行解答；
（2）畫(huà)出兩個(gè)拋物線的大致圖象，可以看出只有當(dāng)直線y=m在直線y=-3上方時(shí)，直線y=m與兩個(gè)拋物線才有4個(gè)交點(diǎn)；（m=1除外，因?yàn)楫?dāng)m=1時(shí)，y=m與兩條拋物線只有3個(gè)交點(diǎn)）
（3）方法同（2）．

解答：解：（1）由題意，得：y=x²-4x+1=（x-2）²-3；
向左平移4個(gè)單位，得y=（x+2）²-3；
∴平移后拋物線的解析式為y=x²+4x+1；

（2）由（1）知，兩拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（2，-3）和（-2，-3），與y軸的交點(diǎn)為（0，1）；
由圖象知，若直線y=m與兩條拋物線有且只有4個(gè)交點(diǎn)時(shí)，m＞-3且m≠1；

（3）由y=x²+bx+c配方得：y=（x+

b

2

）²+

4c-b2

4

；
向左平移-b個(gè)單位長(zhǎng)度得：y=（x-

b

2

）²+

4c-b2

4

；
∴兩拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（-

b

2

，

4c-b2

4

），（

b

2

，

4c-b2

4

）；
與y軸的交點(diǎn)為（0，c）；
利用（2）的圖象知，實(shí)數(shù)m的取值范圍是：m＞

4c-b2

4

，且m≠c．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)圖象的平移，以及根據(jù)二次函數(shù)的圖象解決問(wèn)題的能力．