Question

如圖，把長方形ABCD沿AC折疊，AD落在AD′處，AD′交BC于點E，已知AB=2cm，BC=4cm．（長方形的對邊相等，四個角都為直角）
（1）求證：AE=EC；   
（2）求EC的長；      
（3）求重疊部分的面積．

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠B=90°，AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA．
∵△ADC與△AD′C關于AC成軸對稱
∴△ADC≌△AD′C，
∴∠DAC=∠D′AC，
∴∠D′AC=∠ACB，
∴AE=EC；

（2）∵AB=2cm，BC=4cm，
∴CD=2cm，AD=4cm．
設EC=x，就有AE=x，BE=4-x，在Rt△ABE中，由勾股定理，得
4+（4-x）²=x²，
解得：x=2.5．
答：EC的長為2.5cm；

（3）∵S_△AEC=，
S_△AEC==2.5cm²．
答：重疊部分的面積為2.5cm²．
分析：（1）根據軸對稱的性質和矩形的性質就可以得出∠EAC=∠ECA，就可以得出AE=CE，
（2）設EC=x，就有AE=x，BE=4-x，在Rt△ABE中，由勾股定理就可以求出結論；
（3）根據（2）的結論直接根據三角形的面積公式就可以求出結論．
點評：本題考查了矩形的性質的運用，勾股定理的運用，軸對稱的性質的運用，平行線的性質的運用，解答時運用勾股定理求出EC的值是關鍵．