Question

【題目】如圖，在⊙O中，弦AD，BC相交于點(diǎn)E，連接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB．

（1）求證：AB＝CD；

（2）如果⊙O的直徑為10，DE＝1，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AE=7．

【解析】

（1）欲證明AB=CD，只需證得.

（2）如圖，過O作OF⊥AD于點(diǎn)F，作OG⊥BC于點(diǎn)G，連接OA、OC．構(gòu)建正方形EFOG，利用正方形的性質(zhì)，垂徑定理和勾股定理來求AF的長度，則易求AE的長度．

（1）證明：如圖，∵AD=BC，

∴= ，

∴﹣ =﹣，即=，

∴AB=CD；

（2）如圖，過 O 作 OF⊥AD 于點(diǎn) F，作 OG⊥BC 于點(diǎn) G，連接 OA、OC．

則 AF=FD，BG=CG．

∵AD=BC，

∴AF=CG．

在 Rt△AOF 與 Rt△COG 中，，

∴Rt△AOF≌Rt△COG（HL），

∴OF=OG，

∴四邊形 OFEG 是正方形，

∴OF=EF．

設(shè) OF=EF=x，則 AF=FD=x+1，

在直角△OAF 中．由勾股定理得到：x2+（x+1）2=52， 解得 x=5．

則 AF=3+1=4，即 AE=AF+3=7．