Question

（2006•惠安縣質(zhì)檢）如圖，等腰直角三角形ABC的斜邊BC在x軸上，且BC=4，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，AB與y軸相交于點(diǎn)E．已知點(diǎn)B（-1，0），點(diǎn)P是AC上的一個(gè)動點(diǎn)（與點(diǎn)A、C不重合）．
（1）請直接寫出A、E的坐標(biāo)；
（2）若拋物線y=-x²+bx+c過點(diǎn)A、E，求拋物線的解析式；
（3）連接PB、PD，設(shè)△PBD的周長為L，請通過畫圖（不必寫畫法）找出點(diǎn)P在什么位置時(shí)，L取最小值，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并判斷此時(shí)點(diǎn)P是否在（2）中的拋物線上，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于三角形ABC是等腰直角三角形，而D是BC的中點(diǎn)，如果連接AD，那么AD就垂直平分BC，根據(jù)BC=4和B點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出BD=AD=CD=2，那么D的坐標(biāo)是（1，0），C（3，0），A（1，2）．而∠ABC=45°，因此直角三角形BOE中，BO=OE=1，因此E的坐標(biāo)是（0，1）．
（2）根據(jù)（1）的A，E的坐標(biāo)，可用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式．
（3）當(dāng)L最小時(shí)，點(diǎn)P應(yīng)該是D關(guān)于AC對稱的點(diǎn)與B點(diǎn)的連線，兩線相交的交點(diǎn)就是P點(diǎn)．那么求P的坐標(biāo)就要求出直線BD′和直線AC的解析式．根據(jù)D關(guān)于AC對稱，可求出D′的坐標(biāo)，那么有了B，D′，A，C四點(diǎn)的坐標(biāo)，可用待定系數(shù)法求出兩條直線的解析式，然后將兩個(gè)函數(shù)式聯(lián)立方程組即可求出P的坐標(biāo)．然后將P的坐標(biāo)代入（2）的函數(shù)式中，從而判斷出P點(diǎn)是否在拋物線上．
解答：解：（1）A（1，2），E（0，1）；

（2）依題意得：
解得：
∴y=-x²+x+1；

（3）通過畫圖找出點(diǎn)P的位置，如圖所示．
設(shè)點(diǎn)D（1，0）關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)D′
由對稱性可求D′（3，2）
直線AC過A（1，2），C（3，0）
設(shè)y=k₁x+b₁，則
解得∴y=-x+3
直線BD′過點(diǎn)B（-1，0），D′（3，2）
設(shè)y=k₂x+b₂，則，
解得∴y=x+
由
解得
∴交點(diǎn)坐標(biāo)為（，）
當(dāng)x=時(shí)，y=-×（）²+×+1=
∴點(diǎn)P在拋物線上．
點(diǎn)評：本題主要考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及二次函數(shù)的解析式，（3）中正確地作出P點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．