Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與軸交于，兩點，與軸交于點．

（1）求這個二次函數的解析式；

（2）點是直線上方的拋物線上一動點，是否存在點，使得的面積最大？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由；

（3）點是直線上方的拋物線上一動點，過點作軸于點．是否存在點，使以點，，為頂點的三角形與相似？若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，點；（3）存在，，．

【解析】

（1）把點A、B的坐標代入二次函數解析式，利用待定系數法求二次函數解析式解答；

（2）連接，過點作軸于點，軸于點，設點的坐標為，得出，從而推出，即可推出當時，的面積最大，從而求出點的坐標.

（3）設點E的橫坐標為c，表示出BE、QE，然后根據相似三角形對應邊成比例，分OA和BE，OA和QE是對應邊兩種情況列出比例式求解即可．

（1）由拋物線過點，，

則，解得．

二次函數的解析式為．

（2）存在．如圖，連接，過點作軸于點，軸于點．

設點的坐標為，則．

，，．

當時，，

．

．

，

當時，有最大值．

此時．

存在點，使的面積最大．

（3）存在點，坐標為，．

理由如下：設點E的橫坐標為c，則點Q的坐標為BE=1-c，

①OA和BE是對應邊時，∵△BEQ∽△AOC，

∴，

即，

整理得，c2+c-2=0，

解得c1=-2，c2=1（舍去），

此時，,

點Q（-2，2）；

②OA和QE是對應邊時，∵△QEB∽△AOC，

∴，

即，

整理得，4c2-c-3=0，

解得，c2=1（舍去），

此時，,

點；

綜上所述，存在點，使以點B、Q、E為頂點的三角形與△AOC相似．