Question

如圖，⊙O是△ABC外接圓，直徑AB=12，∠A=2∠B．
（1）∠A=______°，∠B=______°；
（2）求BC的長（結果用根號表示）；
（3）連接OC并延長到點P，使CP=OC，連接PA，畫出圖形，求證：PA是⊙O的切線．

Answer 1

解：（1）∵∠C=90°，∠A=2∠B，
∴∠A=60°，∠B=30°；

（2）∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
又∵∠B=30°，
∴AC=AB=65．
∴BC==6；

（3）如圖，∵OP=2OC=AB，
∵∠BAC=60°，OA=OC，
∴△OAC為等邊三角形．
∴∠AOC=60°．
在△ABC和△OPA中，
∵AB=OP，∠BAC=∠POA=60°，AC=OA，
∴△ABC≌△OPA．
∴∠OAP=∠ACB=90°．
∴PA是⊙O的切線．
分析：（1）不難看出∠C應該是直角，∠A=2∠B，那么這兩個角的度數就容易求得了；
（2）直角三角形ABC中，有斜邊AB的長，有三角的度數，BC的值就能求出了；
（3）此題實際上是證明PA⊥AB，由圖我們不難得出△AOC是等邊三角形，那么就容易證得△ABC≌△OPA，這樣就能求出PA⊥AB了．
點評：本題主要考查了解直角三角形的應用和切線的判定等知識點．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．