Question

【題目】四邊形ABCD中，∠BAD的角平分線與邊BC交于點E，∠ADC的角平分線交直線AE于點O．

（1）若點O在四邊形ABCD的內部，

①如圖1，若AD∥BC，∠B=40°，∠C=70°，則∠DOE= °；

②如圖2，試探索∠B、∠C、∠DOE之間的數量關系，并將你的探索過程寫下來．

（2）如圖3，若點O在四邊形ABCD的外部，請你直接寫出∠B、∠C、∠DOE之間的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）①125；②∠B+∠C+2∠DOE=360°，理由詳見解析；（2）∠B+∠C=2∠DOE，理由詳見解析.

【解析】

（1）①根據平行線的性質和角平分線的定義可求∠BAE，∠CDO，再根據三角形外角的性質可求∠AEC，再根據四邊形內角和等于360°可求∠DOE的度數；
②根據三角形外角的性質和角平分線的定義可得∠DOE和∠BAD、∠ADC的關系，再根據四邊形內角和等于360°可求∠B、∠C、∠DOE之間的數量關系；
（2）根據四邊形和三角形的內角和得到∠BAD＋∠ADC＝360°－∠B－∠C，∠EAD＋∠ADO＝180°－∠DOE，根據角平分線的定義得到∠BAD＝2∠EAD，∠ADC＝2∠ADO，于是得到結論．

解：（1）①∵AD∥BC，∠B＝40°，∠C＝70°，

∴∠BAD＝140°，∠ADC＝110°，

∵AE、DO分別平分∠BAD、∠CDA，

∴∠BAE＝70°，∠ODC＝55°，

∴∠AEC＝110°，

∴∠DOE＝360°－110°－70°－55°＝125°；

故答案為：125；

②∠B＋∠C＋2∠DOE＝360°，

理由：∵∠DOE＝∠OAD＋∠ADO，

∵AE、DO分別平分∠BAD、∠CDA，

∴2∠DOE＝∠BAD＋∠ADC，

∵∠B＋∠C＋∠BAD＋∠ADC＝360°，

∴∠B＋∠C＋2∠DOE＝360°；

（2）∠B＋∠C＝2∠DOE，

理由：∵∠BAD＋∠ADC＝360°－∠B－∠C，∠EAD＋∠ADO＝180°－∠DOE，

∵AE、DO分別平分∠BAD、∠CDA，

∴∠BAD＝2∠EAD，∠ADC＝2∠ADO，

∴∠BAD＋∠ADC＝2（∠EAD＋∠ADO），

∴360°－∠B－∠C＝2（180°－∠DOE），

∴∠B＋∠C＝2∠DOE．