Question

【題目】如圖，是的直徑，點是上一點，點是的中點，過點作的切線，與、的延長線分別交于點、，連接．

（1）求證：；

（2）直接回答：①已知，當為何值時，？

②連接、、，當等于多少度時，四邊形是菱形？

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①；②．

【解析】

（1）連接OD，由點D是弧CB的中點，過點D作⊙O的切線，可得OD⊥EF，AF∥OD，進而得出AF⊥EF；

（2）①當BE=4時，連接BC，證明△ACB∽△AFE，所以，即AC=CF；

②當∠E=30°時，證明△ODB，△AOC，△COD為等邊三角形，所以OB=BD=OD=CD=OC，即四邊形OBDC是菱形．

如圖1，連接，

∵點是的中點，過點作的切線，

∴，，

∵,

∴，

∴，

∴,

∴．

（2）①當 時，.

如圖2，連接BC，

,

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∵AF⊥EF，

∴∠ACB=∠F=90°，

∴BC∥EF，

∴△ACB∽△AFE，

∴．

∴AC=CF．

②當時, 四邊形是菱形.

如圖3，

∵EF是過點D的⊙O的切線，

∴∠ODE=∠F=90°，

∴∠DOE=∠CAO=60°，

∵OD=OB=OC=OA，

∴△ODB，△AOC為等邊三角形，

∴∠COA=∠DOB=60°，

∴∠COD=60°，

∴△COD為等邊三角形，

∴OB=BD=OD=CD=OC，

∴四邊形OBDC是菱形．