Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，直線y=x+4分別交x軸、y軸于點A、C，直線BC與直線AC關于y軸對稱，動點D從點A出發，沿AC以每秒2個單位長度的速度向終點C運動，當點D出發后，過點D作DE∥BC交折線A﹣O﹣C于點E，以DE為邊作等邊△DEF，設△DEF與△ACO重疊部分圖形的面積為S，點D運動的時間為t秒．

（1）寫出坐標：點A（ 　），點B（　 　），點C（　 　）；

（2）當點E在線段AO上時，求S與t之間的函數關系式；

（3）求出以點B、E、F為頂點的三角形是直角三角形時t的值；

（4）直接寫出點F運動的路程長為　 　．

Answer 1

【答案】（1）﹣4，0；4，0；0，4 ；（2）S=﹣；（3）t的值是 秒或 秒；（4）4+4．

【解析】

（1）令x=0，得即可求出點的坐標，令y=0，得即可求出點的坐標，根據直線BC與直線AC關于y軸對稱，即可求出點的坐標.

（2）當點F在OC上時，求出的值，然后分兩種情況進行討論即可.

（3）分∠EFB=90°和∠FEB=90°兩種情況進行討論，分別畫出示意圖，進行計算即可.

（4）點E在線段OA上時，如圖,點F的運動路徑為等邊△ACB中BC邊上的高線AF，

當點E在線段OC上時，設BC的中點為P，如圖點F的運動路徑為PC的長，相加即可.

（1）x=0時，

∴

當y=0時，

∴

∵直線BC與直線AC關于y軸對稱，

∴B（4，0），

故答案為：﹣4，0；4，0；0，

（2）Rt△ACO中，

∴∠CAO=60°，

∵AC=BC，

∴∠ABC=∠CAO=60°，

∵DE∥BC，

∴∠AED=∠ABC=60°，

∴△ADE是等邊三角形，

∴AD=AE=2t，

當點F在OC上時，如圖1，

∵∠AED=∠DEF=60°，

∴∠OEF=30°，

∵∠EOF=90°，

∵EF=DE=AD=2t，

∴

∵AO=AE+OE=2t+t=4，

①當時，點E在線段OA上，△DEF與△ACO重疊部分圖形是△DEF，如圖2，

②當時，如圖3，△DEF與△ACO重疊部分圖形是四邊形DEGH，

∵AE=2t，OE=4﹣2t，

Rt△EOG中，∠EGO=30°，

∴

Rt△FHG中，∠HGF=30°，

∴

∴S=S△DEF﹣S△GHF，

（3）①如圖4，當0＜t≤2時，∠EFB=90°，∠FBE=30°，

∴BE=2EF=2AD，

則8﹣2t=4t，

②如圖5，當2＜t＜4時，E在y軸上，

∠FEB=90°，∠FBE=30°，

∵∠ABC=60°，

∴∠EBO=30°，

∵OB=4，

∴

∴

∵BF=AD，

∴

綜上，t的值是秒或秒；

（4）動點D從點A出發，DE∥BC，點E在線段OA上時，如圖6，點F的運動路徑為等邊△ACB中BC邊上的高線AF，

此時

當點E在線段OC上時，設BC的中點為P，如圖7，點F的運動路徑為PC的長，

∵

∴點F運動的路程長為：

故答案為：