Question

【題目】如圖在△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，點P是邊BC上由B向C運動（不與點B、C重合）的一動點，P點的速度是1cm/s，設點P的運動時間為t，過P點作AC的平行線交AB與點N，連接AP，

（1）請用含有t的代數式表示線段AN和線段PN的長，

（2）當t為何值時，△APN的面積等于△ACP面積的三分之一？

（3）在點P的運動過程中，是否存在某一時刻的t的值，使得△APN的面積有最大值，若存在請求出t的值并計算最大面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1） PN=t，AN =5﹣t；（2）當t為s時，△APN的面積等于△ACP面積的三分之一；（3）t=2時，△PAN的面積最大，最大值為．

【解析】

（1）利用勾股定理求出AB，再利用平行線分線段成比例定理，求出PN、BN即可解決問題；

（2）由題意：PNPC＝×PCAC，推出AC＝3PN，由此構建方程即可解決問題；

（3）構建二次函數，利用二次函數的性質即可解決問題.

（1）在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，

∴AB==5（cm），

∵PN∥AC，PB=t，

∴==，

∴==，

∴BN=t，PN=t，

∴AN=AB﹣BN=5﹣t．

（2）由題意：PNPC=×PCAC，

∴AC=3PN，

∴3=3t，

∴t=，

∴當t為2s時，△APN的面積等于△ACP面積的三分之一．

（3）由題意：S△APN=PNPC=t（4﹣t）=﹣（t﹣2）2+，

∵﹣＜0，

∴t=2時，△PAN的面積最大，最大值為．