Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，以AB為直徑的⊙O經過點D，E是⊙O上一點，且∠AED=45°．
（1）試判斷CD與⊙O的位置關系，并證明你的結論；
（2）若⊙O的半徑為3，sin∠ADE= ，求AE的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：CD與圓O相切．

證明：連接OD，則∠AOD=2∠AED=2×45°=90°．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥DC．

∴∠CDO=∠AOD=90°．

∴OD⊥CD．

∴CD與圓O相切

（2）解：連接BE，則∠ADE=∠ABE．

∴sin∠ADE=sin∠ABE= ．

∵AB是圓O的直徑，

∴∠AEB=90°，AB=2×3=6．

在Rt△ABE中，sin∠ABE= = ．

∴AE=5．

【解析】（1）連接OD，則∠AOD=為直角，由四邊形ABCD是平行四邊形，則AB∥DC．從而得出∠CDO=90°，即可證出答案．（2）連接BE，則∠ADE=∠ABE根據題意得sin∠ABE= ．由AB是圓O的直徑求出AB的長．再在Rt△ABE中，求得AE即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平行四邊形的性質的相關知識，掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分，以及對圓周角定理的理解，了解頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．