Question

【題目】如圖，正方形OABC的邊OA，OC在坐標軸上，點B的坐標為（﹣3，3）．點P從點A出發，以每秒1個單位長度的速度沿x軸向點O運動；點Q從點O同時出發，以相同的速度沿x軸的正方向運動，規定點P到達點O時，點Q也停止運動．連接BP，過P點作BP的垂線，與過點Q平行于y軸的直線l相交于點D．BD與y軸交于點E，連接PE．設點P運動的時間為t（s）．

（1）求∠EBP的度數；

（2）求點D運動路徑的長；

（3）探索△POE周長是否隨時間t的變化而變化？若變化，說明理由；若不變，試求這個定值．

Answer 1

【答案】（1）∠PBD =45°．

（2）點D運動路徑的長為t；

（3）△POE周長是定值，該定值為6．

【解析】

試題分析：（1）易證△BAP≌△PQD，從而得到BP=PD，由∠BPD=90°，從而可以求出∠PBE的度數；

（2）由△BAP≌△PQD，從而得到DQ=AP=t；

（2）由于∠EBP=45°，故圖1是以正方形為背景的一個基本圖形，容易得到EP=AP+CE．容易得到△POE周長等于AO+CO=8，從而解決問題；

解：（1）如圖，由題可得：AP=OQ=1×t=t（秒）

∴AO=PQ

∵四邊形OABC是正方形，

∴AO=AB=BC=OC，

∠BAO=∠AOC=∠OCB=∠ABC=90°．

∵DP⊥BP，

∴∠BPD=90°．

∴∠BPA=90°﹣∠DPQ=∠PDQ．

∵AO=PQ，AO=AB，

∴AB=PQ．

在△BAP和△PQD中，

∴△BAP≌△PQD（AAS）．

∴BP=PD．

∵∠BPD=90°，BP=PD，

∴∠PBD=∠PDB=45°．

（2）∵△BAP≌△PQD，

∴DQ=AP，

∵AP=t，

∴DQ=t．

∴點D運動路徑的長為t；

（3）∵∠EBP=45°

∴由圖1可以得到EP=CE+AP，

∴OP+PE+OE=OP+AP+CE+OE

=AO+CO

=3+3

=6．

∴△POE周長是定值，該定值為6．