Question

【題目】1.概念學習.已知，點為其內部一點，連接、、，在、、中，如果存在一個三角形，其內角與的三個內角分別相等，那么就稱點為的等角點.

2.理解應用

(1)判斷以下兩個命題是否為真今題，若為真令題，則在相應橫線內寫“真命題”；反之，則寫“假命題”.

①內角分別為、、的三角形存在等角點； ；

②任意的三角形都存在等角點; ；

（2）如圖①，點是銳角的等角點，若，探究圖①中，、、之間的數量關系，并說明理由.

3.解決問題

如圖②，在中，，若的三個內角的角平分線的交點是該三角形的等角點，求三角形三個內角的度數.

Answer 1

【答案】（1）真，假；（2）∠BPC＝∠ABC＋∠ACP，證明見解析（3），，．

【解析】

（1）根據等角點的定義，可知內角分別為30、60、90的三角形存在等角點，而等邊三角形不存在等角點，據此判斷即可；

（2）根據△ABC中，∠BPC＝∠ABP＋∠BAC＋∠ACP以及∠BAC＝∠PBC進行推導，即可得出∠BPC、∠ABC、∠ACP之間的數量關系；

（3）根據△ABC的三個內角的角平分線的交點P是該三角形的等角點，以及三角形內角和為180°，得出關于∠A的方程，求得∠A的度數即得出可三角形三個內角的度數．

解：（1）①內角分別為30、60、90的三角形存在等角點是真命題；

②任意的三角形都存在等角點是假命題，如等邊三角形不存在等角點；

故答案為：真，假；

（2）∠BPC＝∠ABC＋∠ACP，理由如下：

如圖①，

∵在△ABC中，∠BPC＝∠ABP＋∠BAC＋∠ACP，∠BAC＝∠PBC，

∴∠BPC＝∠ABP＋∠PBC＋∠ACP＝∠ABC＋∠ACP；

（3）∵P為△ABC的角平分線的交點，

∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，

∵P為△ABC的等角點，

∴∠PBC＝∠BAC，∠BCP＝∠ABC＝2∠PBC＝2∠BAC，∠ACB＝∠BPC＝4∠A，

又∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，

∴∠A＋2∠A＋4∠A＝180°，

∴∠A＝，

∴該三角形三個內角的度數分別為．