Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣+bx+c圖象經過A（﹣1，0），B（4，0）兩點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若C（m，m﹣1）是拋物線上位于第一象限內的點，D是線段AB上的一個動點（不與A、B重合），過點D分別作DE∥BC交AC于E，DF∥AC交BC于F.

①求證：四邊形DECF是矩形；

②連結EF，線段EF的長是否存在最小值？若存在，求出EF的最小值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①證明見解析；②存在. EF的最小值是2.

【解析】試題分析：（1）根據待定系數法即可求得；

（2）把C（m，m-1）代入求得點C的坐標，從而求得AH=4，CH=2，BH=1，AB=5，然后根據，∠AHC=∠BHC=90°得出△AHC∽△CHB，根據相似三角形的對應角相等求得∠ACH=∠CBH，因為∠CBH+∠BCH=90°所以∠ACH+∠BCH=90°從而求得∠ACB=90°，先根據有兩組對邊平行的四邊形是平行四邊形求得四邊形DECF是平行四邊形，進而求得DECF是矩形；

（3）根據矩形的對角線相等，求得EF=CD，因為當CD⊥AB時，CD的值最小，此時CD的值為2，所以EF的最小值是2；

試題解析：（1）∵拋物線圖象經過A（-1，0），B（4，0）兩點，

∴根據題意，得，解得，

所以拋物線的解析式為： ；

（2）①證明：∵把C（m，m-1）代入得

∴，

解得：m=3或m=-2，

∵C（m，m-1）位于第一象限，

∴，

∴m＞1，

∴m=-2舍去，

∴m=3，

∴點C坐標為（3，2），

由A（-1，0）、B（3，0）、C（3，2）得 AH=4，CH=2，BH=1，AB=5

過C點作CH⊥AB，垂足為H，則∠AHC=∠BHC=90°，

∵，∠AHC=∠BHC=90°

∴△AHC∽△CHB，

∴∠ACH=∠CBH，

∵∠CBH+∠BCH=90°

∴∠ACH+∠BCH=90°

∴∠ACB=90°，

∵DE∥BC，DF∥AC，

∴四邊形DECF是平行四邊形，

∴DECF是矩形；

②存在；

連接CD

∵四邊形DECF是矩形，

∴EF=CD，

當CD⊥AB時，CD的值最小，

∵C（3，2），

∴DC的最小值是2，

∴EF的最小值是2；