Question

如圖，已知拋物線y=

1

2

x2+bx+c與y軸相交于C，與x軸相交于A、B，點A的坐標為（2，0），點C的坐標為（0，-1）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點E是線段AC上一動點，過點E作DE⊥x軸于點D，連接DC，當△DCE的面積最大時，求點D的坐標；
（3）在直線BC上是否存在一點P，使△ACP為等腰三角形？若存在，求點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）由于拋物線經過A（2，0），C（0，-1），
則有：

1 2 ×4+2b+c=0 c=-1

，
解得

b=- 1 2 c=-1

；
∴拋物線的解析式為：y=

1

2

x2-

1

2

x-1．

（2）∵A（2，0），C（0，-1），
∴直線AC：y=

1

2

x-1；
設D（x，0），則E（x，

1

2

x-1），
故DE=0-（

1

2

x-1）=1-

1

2

x；
∴△DCE的面積：S=

1

2

DE×|x_D|=

1

2

×（1-

1

2

x）×x=-

1

4

x²+

1

2

x=-

1

4

（x-1）²+

1

4

，
因此當x=1，
即D（1，0）時，△DCE的面積最大，且最大值為

1

4

．

（3）由（1）的拋物線解析式易知：B（-1，0），
可求得直線BC的解析式為：y=-x-1；
設P（x，-x-1），因為A（2，0），C（0，-1），則有：
AP²=（x-2）²+（-x-1）²=2x²-2x+5，
AC²=5，CP²=x²+（-x-1+1）²=2x²；
①當AP=CP時，AP²=CP²，有：
2x²-2x+5=2x²，解得x=2.5，
∴P₁（2.5，-3.5）；
②當AP=AC時，AP²=AC²，有：
2x²-2x+5=5，解得x=0（舍去），x=1，
∴P₂（1，-2）；
③當CP=AC時，CP²=AC²，有：
2x²=5，解得x=±

10

2

，
∴P₃（

10

2

，-

10

2

-1），P₄（-

10

2

，

10

2

-1）；
綜上所述，存在符合條件的P點，且P點坐標為：P₁（2.5，-3.5）、P₂（1，-2）、P₃（

10

2

，-

10

2

-1）、P₄（-

10

2

，

10

2

-1）．