Question

已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A、B兩點（點B在點A的右側，且AB=8），與y軸交于點C，其中點A在x軸的負半軸上，點C在y軸的正半軸上，線段OA、OC的長（OA＜OC）是方程x²-14x+48=0的兩個根．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）連接AC、BC，若點E是線段AB上的一個動點（與點A、點B不重合），過點E作EF∥AC交BC于點F，連接CE，設AE的長為m，△CEF的面積為S，求S與m之間的函數關系式，并寫出自變量m的取值范圍；
（3）在（2）的基礎上試說明S是否存在最大值，若存在，請求出S的最大值，并求出此時點E的坐標，判斷此時△BCE的形狀；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）解方程x²-14x+48=0得x₁=6，x₂=8，
由題意得
A（-6，0），C（0，8），B（2，0）…（3分）
∵點C（0，8）在拋物線y=ax²+bx+c的圖象上，∴c=8，
將A（-6，0）、B（2，0）代入表達式，得

0=36a-6b+8 0=4a+2b+8

，
　解得

a=- 2 3 b=- 8 3

．
∴所求拋物線的表達式為y=-

2

3

x²-

8

3

x+8；　…（2分）

（2）依題意，AE=m，則BE=8-m，
∵OA=6，OC=8，∴AC=10．
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴

EF

AC

=

BE

AB

即

EF

10

=

8-m

8

，
∴EF=

40-5m

4

．…（1分）
過點F作FG⊥AB，垂足為G，
則sin∠FEG=sin∠CAB=

4

5

，
∴

FG

EF

=

4

5

，
∴FG=

4

5

•

40-5m

4

=8-m，
∴S=S_△BCE-S_△BFE=

1

2

（8-m）×8-

1

2

（8-m）（8-m）
=

1

2

（8-m）（8-8+m）=

1

2

（8-m）m=-

1

2

m²+4m．　…（2分）
自變量m的取值范圍是0＜m＜8；　　…（1分）

（3）存在．
理由：∵S=-

1

2

m²+4m=-

1

2

（m-4）²+8且-

1

2

＜0，
∴當m=4時，S有最大值，S_最大值=8．　　…（2分）
∵m=4，∴點E的坐標為（-2，0），
∴△BCE為等腰三角形．　　…（1分）